問題は2つあります。 問題3: 無限等比数列 $2, x, \frac{x^2}{2}, \frac{x^3}{4}, \dots$ が収束するような $x$ の値の範囲を求め、そのときの極限値を求めよ。 練習9: 数列 $\{(x-1)^n\}$ が収束するような $x$ の値の範囲を求め、そのときの極限値を求めよ。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

問題3: 無限等比数列 $2, x, \frac{x^2}{2}, \frac{x^3}{4}, \dots$ が収束するような $x$ の値の範囲を求め、そのときの極限値を求めよ。

練習9: 数列 $\{(x-1)^n\}$ が収束するような $x$ の値の範囲を求め、そのときの極限値を求めよ。

2. 解き方の手順

問題3:

無限等比数列 $a, ar, ar^2, ar^3, \dots$ が収束するための条件は、

$a = 0$ または $-1 < r \le 1$ である。

この数列の初項は $a = 2$ であり、公比は $r = \frac{x}{2}$ である。

数列が収束するためには、$-1 < \frac{x}{2} \le 1$ が成り立つ必要がある。

この不等式を解くと、$-2 < x \le 2$ となる。

$x = 2$ のとき、数列は $2, 2, 2, 2, \dots$ となり、極限値は2である。

$-2 < x < 2$ のとき、$\frac{x}{2}$ の絶対値は1より小さいので、数列は0に収束する。

したがって、極限値は0である。

練習9:

数列 $\{(x-1)^n\}$ が収束するための条件は、$-1 < x-1 \le 1$ である。

また、$x-1 = 0$、つまり$x=1$の場合、すべての項が0であるため収束する。

$-1 < x-1 \le 1$

$0 < x \le 2$

$x=1$ の場合、数列は $0, 0, 0, \dots$ となり、極限値は0である。

$0 < x < 2$ の範囲において、$-1 < x-1 < 1$ であるため、数列は 0 に収束する。

$x = 2$ の場合、数列は $1, 1, 1, \dots$ となり、極限値は 1 である。

3. 最終的な答え

問題3:

$x$ の範囲: $-2 < x \le 2$

極限値:

$-2 < x < 2$ のとき、極限値は 0

$x = 2$ のとき、極限値は 2

練習9:

$x$ の範囲: $0 < x \le 2$

極限値:

$0 < x < 2$ のとき、極限値は 0

$x = 2$ のとき、極限値は 1