(5) $y = \tan^{-1}\sqrt{x^2 - 1}$ を微分する。 (6) $y = (\tan x)^{\sin x}$ (ただし、$\tan x > 0$) を微分する。

1. 問題の内容

(5) $y = \tan^{-1}\sqrt{x^2 - 1}$ を微分する。

(6) $y = (\tan x)^{\sin x}$ (ただし、$\tan x > 0$) を微分する。

2. 解き方の手順

(5) 合成関数の微分を利用する。

まず、$u = \sqrt{x^2 - 1}$ とおく。すると、$y = \tan^{-1}u$ となる。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{1 + u^2}$ である。

$u = \sqrt{x^2 - 1}$ より、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}$ である。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{1}{1 + (x^2 - 1)} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{1}{x^2} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}}$

(6) 対数微分法を利用する。

$y = (\tan x)^{\sin x}$ の両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \ln (\tan x)^{\sin x} = \sin x \cdot \ln (\tan x)$

両辺を $x$ で微分する。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \cos x \cdot \ln (\tan x) + \sin x \cdot \frac{1}{\tan x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \cos x \cdot \ln (\tan x) + \sin x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \cos x \cdot \ln (\tan x) + \frac{1}{\cos x}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = y \left( \cos x \cdot \ln (\tan x) + \frac{1}{\cos x} \right) = (\tan x)^{\sin x} \left( \cos x \cdot \ln (\tan x) + \frac{1}{\cos x} \right)$

3. 最終的な答え

(5) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}}$

(6) $\frac{dy}{dx} = (\tan x)^{\sin x} \left( \cos x \ln (\tan x) + \frac{1}{\cos x} \right)$