次の関数の逆関数を求め、グラフを描け。 (1) $y = \sqrt{-x}$ (2) $y = \frac{1}{2}x^2$ (ただし、$2 \le x \le 4$)

1. 問題の内容

次の関数の逆関数を求め、グラフを描け。

(1) $y = \sqrt{-x}$

(2) $y = \frac{1}{2}x^2$ (ただし、$2 \le x \le 4$)

2. 解き方の手順

(1) $y = \sqrt{-x}$ の逆関数を求める。

まず、定義域と値域を確認する。$y = \sqrt{-x}$ より、$-x \ge 0$ なので、$x \le 0$。また、$y \ge 0$。

次に、$x$ について解く。

$y = \sqrt{-x}$

$y^2 = -x$

$x = -y^2$

ここで、$x$ と $y$ を入れ替える。

$y = -x^2$

この逆関数の定義域は、$x \ge 0$、値域は $y \le 0$ となる。

(2) $y = \frac{1}{2}x^2$ (ただし、$2 \le x \le 4$) の逆関数を求める。

まず、定義域と値域を確認する。定義域は $2 \le x \le 4$。値域は $2 \le y \le 8$。

次に、$x$ について解く。

$y = \frac{1}{2}x^2$

$2y = x^2$

$x = \pm\sqrt{2y}$

ここで、$2 \le x \le 4$ より、$x > 0$ なので、$x = \sqrt{2y}$ を採用する。

$x$ と $y$ を入れ替える。

$y = \sqrt{2x}$

この逆関数の定義域は、$2 \le x \le 8$、値域は $2 \le y \le 4$ となる。

グラフについては、ここでは省略します。手書きまたはグラフ作成ソフトをご利用ください。$y = \sqrt{-x}$ と $y = -x^2$ (ただし、$x \ge 0$)は$y=x$に関して対称、$y = \frac{1}{2}x^2$ と $y = \sqrt{2x}$ (ただし、$2 \le x \le 8$)も$y=x$に関して対称となります。

3. 最終的な答え

(1) $y = -x^2$ (ただし、$x \ge 0$)

(2) $y = \sqrt{2x}$ (ただし、$2 \le x \le 8$)