与えられた式 $\sqrt{2}\sin\theta - \sqrt{2}\cos\theta$ を簡単にします。

1. 問題の内容

与えられた式 $\sqrt{2}\sin\theta - \sqrt{2}\cos\theta$ を簡単にします。

2. 解き方の手順

三角関数の合成の公式を利用します。一般に、$a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(\theta + \alpha)$ と表せます。ここで、$\cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$、$\sin\alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ です。

今回の式は $\sqrt{2}\sin\theta - \sqrt{2}\cos\theta$ なので、$a = \sqrt{2}$、 $b = -\sqrt{2}$ となります。

まず、$\sqrt{a^2 + b^2}$ を計算します。

$\sqrt{(\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2$

次に、$\alpha$ を求めます。

$\cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin\alpha = \frac{-\sqrt{2}}{2} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$ かつ $\sin\alpha = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たす $\alpha$ は、$\alpha = -\frac{\pi}{4}$ または $\alpha = \frac{7\pi}{4}$ です。ここでは $\alpha = -\frac{\pi}{4}$ を採用します。

したがって、$\sqrt{2}\sin\theta - \sqrt{2}\cos\theta = 2\sin\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right)$ となります。

3. 最終的な答え

$2\sin\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right)$