$0 \le x \le \pi$ のとき、不等式 $\cos x \ge \sin 2x$ を満たす $x$ の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \le x \le \pi$ のとき、不等式 $\cos x \ge \sin 2x$ を満たす $x$ の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\sin 2x$ を倍角の公式で書き換えます。

$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$

したがって、不等式は

$\cos x \ge 2 \sin x \cos x$

となります。

これを整理すると、

$\cos x - 2 \sin x \cos x \ge 0$

$\cos x (1 - 2 \sin x) \ge 0$

ここで、$\cos x \ge 0$ と $1 - 2 \sin x \ge 0$ の場合、および $\cos x \le 0$ と $1 - 2 \sin x \le 0$ の場合を考えます。

(i) $\cos x \ge 0$ かつ $1 - 2 \sin x \ge 0$ のとき

$\cos x \ge 0$ より $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$

$1 - 2 \sin x \ge 0$ より $\sin x \le \frac{1}{2}$

$0 \le x \le \frac{\pi}{6}$ または $\frac{5\pi}{6} \le x \le \pi$

これらを両方満たす範囲は $0 \le x \le \frac{\pi}{6}$

(ii) $\cos x \le 0$ かつ $1 - 2 \sin x \le 0$ のとき

$\cos x \le 0$ より $\frac{\pi}{2} \le x \le \pi$

$1 - 2 \sin x \le 0$ より $\sin x \ge \frac{1}{2}$

$\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{5\pi}{6}$

これらを両方満たす範囲は $\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{5\pi}{6}$

(i)と(ii)を合わせると、

$0 \le x \le \frac{\pi}{6}$ または $\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{5\pi}{6}$

3. 最終的な答え

$0 \le x \le \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2} \le x \le \frac{5\pi}{6}$