与えられた関数 $y = 2^x$, $y = \log_2(x)$, $y = \log_{\frac{1}{2}}(x)$, $y = \log_2(4x)$ のグラフを描き、さらに $y = \log_{\frac{1}{2}}(x)$ と $y = \log_2(4x)$ のグラフが $y = \log_2(x)$ のグラフをどのように移動して得られるかを答える。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = 2^x$, $y = \log_2(x)$, $y = \log_{\frac{1}{2}}(x)$, $y = \log_2(4x)$ のグラフを描き、さらに $y = \log_{\frac{1}{2}}(x)$ と $y = \log_2(4x)$ のグラフが $y = \log_2(x)$ のグラフをどのように移動して得られるかを答える。

2. 解き方の手順

(1) $y = 2^x$ のグラフ:

指数関数の基本的なグラフです。$(0, 1)$を通り、$x$ が大きくなるにつれて $y$ も大きくなります。$x$ が小さくなるにつれて $y$ は $0$ に近づきます。

(2) $y = \log_2(x)$ のグラフ:

$y = 2^x$ の逆関数です。$(1, 0)$ を通り、$x$ が大きくなるにつれて $y$ も大きくなります。$x$ が $0$ に近づくにつれて $y$ は負の無限大に近づきます。

(3) $y = \log_{\frac{1}{2}}(x)$ のグラフ:

$\log_{\frac{1}{2}}(x) = \frac{\log_2(x)}{\log_2(\frac{1}{2})} = \frac{\log_2(x)}{-1} = -\log_2(x)$

したがって、$y = \log_{\frac{1}{2}}(x)$ のグラフは、$y = \log_2(x)$ のグラフを $x$ 軸に関して対称に折り返したものです。$(1, 0)$ を通り、$x$ が大きくなるにつれて $y$ は小さくなります。$x$ が $0$ に近づくにつれて $y$ は正の無限大に近づきます。

(4) $y = \log_2(4x)$ のグラフ:

対数の性質より、

$\log_2(4x) = \log_2(4) + \log_2(x) = 2 + \log_2(x)$.

したがって、$y = \log_2(4x)$ のグラフは、$y = \log_2(x)$ のグラフを $y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動したものです。

移動について:

* $y = \log_{\frac{1}{2}}(x)$ のグラフは、$y = \log_2(x)$ のグラフを $x$ 軸に関して対称移動したものです。

* $y = \log_2(4x)$ のグラフは、$y = \log_2(x)$ のグラフを $y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動したものです。

3. 最終的な答え

グラフは省略します。移動について:

* $y = \log_{\frac{1}{2}}(x)$ のグラフは、$y = \log_2(x)$ のグラフを $x$ 軸に関して対称移動したものです。

* $y = \log_2(4x)$ のグラフは、$y = \log_2(x)$ のグラフを $y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動したものです。