与えられた関数の凹凸を調べ、変曲点があればその座標を求める問題です。ここでは、(3) $y = x - \cos x$ ($0 < x < \pi$) の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた関数の凹凸を調べ、変曲点があればその座標を求める問題です。ここでは、(3) $y = x - \cos x$ ($0 < x < \pi$) の問題を解きます。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を $x$ で2回微分して、$y''$ を求めます。

次に、$y'' = 0$ となる $x$ を求めます。これが変曲点の候補となります。

そして、$y''$ の符号が変化する $x$ を調べ、変曲点を確定します。

最後に、変曲点の $x$ 座標を元の関数に代入して、$y$ 座標を求めます。

$y = x - \cos x$

まず、$y$ を $x$ で1回微分します。

$y' = 1 + \sin x$

次に、$y'$ を $x$ で微分します。

$y'' = \cos x$

$y'' = 0$ となる $x$ を求めます。

$\cos x = 0$

$0 < x < \pi$ の範囲で、$\cos x = 0$ となるのは $x = \frac{\pi}{2}$ です。

$x = \frac{\pi}{2}$ の前後で $y''$ の符号を調べます。

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ のとき、$\cos x > 0$ なので、$y'' > 0$。

$\frac{\pi}{2} < x < \pi$ のとき、$\cos x < 0$ なので、$y'' < 0$。

$x = \frac{\pi}{2}$ の前後で $y''$ の符号が変化するので、$x = \frac{\pi}{2}$ は変曲点です。

変曲点の $y$ 座標を求めます。

$y = x - \cos x$ に $x = \frac{\pi}{2}$ を代入します。

$y = \frac{\pi}{2} - \cos \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$

よって、変曲点の座標は $(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ です。

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ で $y'' > 0$ なので、下に凸。

$\frac{\pi}{2} < x < \pi$ で $y'' < 0$ なので、上に凸。

3. 最終的な答え

凹凸：$0 < x < \frac{\pi}{2}$ で下に凸、$\frac{\pi}{2} < x < \pi$ で上に凸。

変曲点：$(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$