(1) 関数 $y = (1 + \cos x) \sin x$ の $0 \leqq x \leqq 2\pi$ における最大値と最小値を求める。 (2) 関数 $y = \frac{4-3x}{x^2+1}$ の $1 \leqq x \leqq 4$ における最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = (1 + \cos x) \sin x$ の $0 \leqq x \leqq 2\pi$ における最大値と最小値を求める。

(2) 関数 $y = \frac{4-3x}{x^2+1}$ の $1 \leqq x \leqq 4$ における最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y = (1 + \cos x) \sin x$ について、

$y' = -\sin^2 x + (1 + \cos x) \cos x = -\sin^2 x + \cos x + \cos^2 x = \cos x + \cos 2x = \cos x + 2\cos^2 x - 1 = 2\cos^2 x + \cos x - 1 = (2\cos x - 1)(\cos x + 1)$

$y' = 0$ となるのは、$\cos x = \frac{1}{2}$ または $\cos x = -1$ のときである。

$0 \leqq x \leqq 2\pi$ において、$\cos x = \frac{1}{2}$ となるのは $x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ のときであり、$\cos x = -1$ となるのは $x = \pi$ のときである。

よって、増減表は以下のようになる。

| x | 0 | $\cdots$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\cdots$ | $\pi$ | $\cdots$ | $\frac{5\pi}{3}$ | $\cdots$ | $2\pi$ |

| -------- | ---- | -------- | --------------- | -------- | ------ | -------- | ---------------- | -------- | ------ |

| y' | | + | 0 | - | 0 | - | 0 | + | |

| y | 0 | $\nearrow$ | $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ | $\searrow$ | 0 | $\searrow$ | $-\frac{3\sqrt{3}}{4}$ | $\nearrow$ | 0 |

したがって、最大値は $\frac{3\sqrt{3}}{4}$、最小値は $-\frac{3\sqrt{3}}{4}$。

(2) $y = \frac{4-3x}{x^2+1}$ について、

$y' = \frac{-3(x^2+1) - (4-3x)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{-3x^2 - 3 - 8x + 6x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{3x^2 - 8x - 3}{(x^2+1)^2} = \frac{(3x+1)(x-3)}{(x^2+1)^2}$

$y' = 0$ となるのは、$x = 3, -\frac{1}{3}$ のときである。

$1 \leqq x \leqq 4$ において、$x = 3$ のときである。

よって、増減表は以下のようになる。

| x | 1 | $\cdots$ | 3 | $\cdots$ | 4 |

| -------- | ---- | -------- | ---- | -------- | ---- |

| y' | | - | 0 | + | |

| y | $\frac{1}{2}$ | $\searrow$ | $-\frac{1}{2}$ | $\nearrow$ | $-\frac{8}{17}$ |

したがって、最大値は $\frac{1}{2}$、最小値は $-\frac{1}{2}$。

3. 最終的な答え

(1) 最大値：$\frac{3\sqrt{3}}{4}$, 最小値：$-\frac{3\sqrt{3}}{4}$

(2) 最大値：$\frac{1}{2}$, 最小値：$-\frac{1}{2}$