次の関数の凹凸を調べ、変曲点があればその座標を求める問題です。 (1) $y = x^4 + 2x^3 + 1$ (2) $y = xe^{-x}$ (3) $y = x - \cos x$ (ただし、$0 < x < \pi$) (4) $y = -x^4 + 4x^3 - 6x^2 + 4x$

1. 問題の内容

次の関数の凹凸を調べ、変曲点があればその座標を求める問題です。

(1) $y = x^4 + 2x^3 + 1$

(2) $y = xe^{-x}$

(3) $y = x - \cos x$ (ただし、$0 < x < \pi$)

(4) $y = -x^4 + 4x^3 - 6x^2 + 4x$

2. 解き方の手順

関数の凹凸を調べるには、2階微分を計算し、その符号を調べます。2階微分が正のとき下に凸、負のとき上に凸となります。変曲点は、2階微分の符号が変わる点であり、2階微分が0になる点を探します。

(1) $y = x^4 + 2x^3 + 1$

まず、1階微分を求めます。

$y' = 4x^3 + 6x^2$

次に、2階微分を求めます。

$y'' = 12x^2 + 12x = 12x(x+1)$

$y'' = 0$ となるのは $x = 0$ または $x = -1$ のときです。

$x < -1$ のとき、$y'' > 0$ (下に凸)

$-1 < x < 0$ のとき、$y'' < 0$ (上に凸)

$x > 0$ のとき、$y'' > 0$ (下に凸)

よって、変曲点は $(-1, 0)$ と $(0, 1)$ です。

(2) $y = xe^{-x}$

まず、1階微分を求めます。

$y' = e^{-x} - xe^{-x} = (1-x)e^{-x}$

次に、2階微分を求めます。

$y'' = -e^{-x} - (1-x)e^{-x} = (x-2)e^{-x}$

$y'' = 0$ となるのは $x = 2$ のときです。

$x < 2$ のとき、$y'' < 0$ (上に凸)

$x > 2$ のとき、$y'' > 0$ (下に凸)

$x=2$のとき、$y = 2e^{-2}$なので、変曲点は $(2, 2e^{-2})$ です。

(3) $y = x - \cos x$ ($0 < x < \pi$)

まず、1階微分を求めます。

$y' = 1 + \sin x$

次に、2階微分を求めます。

$y'' = \cos x$

$y'' = 0$ となるのは $x = \frac{\pi}{2}$ のときです。

$0 < x < \frac{\pi}{2}$ のとき、$y'' > 0$ (下に凸)

$\frac{\pi}{2} < x < \pi$ のとき、$y'' < 0$ (上に凸)

$x = \frac{\pi}{2}$ のとき、$y = \frac{\pi}{2} - \cos \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$ なので、変曲点は $(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ です。

(4) $y = -x^4 + 4x^3 - 6x^2 + 4x$

まず、1階微分を求めます。

$y' = -4x^3 + 12x^2 - 12x + 4$

次に、2階微分を求めます。

$y'' = -12x^2 + 24x - 12 = -12(x^2 - 2x + 1) = -12(x-1)^2$

$y'' = 0$ となるのは $x = 1$ のときです。

しかし、常に $y'' \le 0$ であるため、上に凸です。

$x < 1$ のとき、$y'' < 0$ (上に凸)

$x > 1$ のとき、$y'' < 0$ (上に凸)

$x = 1$ のとき、$y = -1 + 4 - 6 + 4 = 1$ です。$x=1$の前後の符号が同じなので変曲点はありません。

3. 最終的な答え

(1) 下に凸: $x < -1$, $x > 0$, 上に凸: $-1 < x < 0$, 変曲点: $(-1, 0), (0, 1)$

(2) 上に凸: $x < 2$, 下に凸: $x > 2$, 変曲点: $(2, 2e^{-2})$

(3) 下に凸: $0 < x < \frac{\pi}{2}$, 上に凸: $\frac{\pi}{2} < x < \pi$, 変曲点: $(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$

(4) 上に凸: 全ての$x$, 変曲点: なし