次の不定積分を求めます。 $\int 3x(x+2)^3 dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めます。

$\int 3x(x+2)^3 dx$

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開します。

$(x+2)^3 = x^3 + 3x^2(2) + 3x(2^2) + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

したがって、

$3x(x+2)^3 = 3x(x^3 + 6x^2 + 12x + 8) = 3x^4 + 18x^3 + 36x^2 + 24x$

次に、この多項式を積分します。

$\int (3x^4 + 18x^3 + 36x^2 + 24x) dx = 3\int x^4 dx + 18\int x^3 dx + 36\int x^2 dx + 24\int x dx$

各項を積分します。

$\int x^4 dx = \frac{x^5}{5} + C_1$

$\int x^3 dx = \frac{x^4}{4} + C_2$

$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C_3$

$\int x dx = \frac{x^2}{2} + C_4$

したがって、

$3\int x^4 dx + 18\int x^3 dx + 36\int x^2 dx + 24\int x dx = 3(\frac{x^5}{5}) + 18(\frac{x^4}{4}) + 36(\frac{x^3}{3}) + 24(\frac{x^2}{2}) + C$

$= \frac{3}{5}x^5 + \frac{9}{2}x^4 + 12x^3 + 12x^2 + C$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{5}x^5 + \frac{9}{2}x^4 + 12x^3 + 12x^2 + C$