## 問題の解答

## 問題の解答

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1. 問題の内容**

与えられた6つの不定積分を求めます。

(1) $\int 3x(x+2)^3 dx$

(2) $\int x\sqrt{1-x} dx$

(3) $\int \sin^4 x \cos x dx$

(4) $\int x e^{x^2} dx$

(5) $\int x \cos (x^2 + 1) dx$

(6) $\int \frac{1}{x(1+\log x)} dx$

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2. 解き方の手順**

(1) $\int 3x(x+2)^3 dx$

まず、$(x+2)^3$を展開します。

$(x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

したがって、

$\int 3x(x+2)^3 dx = \int 3x(x^3 + 6x^2 + 12x + 8) dx = \int (3x^4 + 18x^3 + 36x^2 + 24x) dx$

各項を積分します。

$\int (3x^4 + 18x^3 + 36x^2 + 24x) dx = \frac{3}{5}x^5 + \frac{18}{4}x^4 + \frac{36}{3}x^3 + \frac{24}{2}x^2 + C = \frac{3}{5}x^5 + \frac{9}{2}x^4 + 12x^3 + 12x^2 + C$

(2) $\int x\sqrt{1-x} dx$

$u = 1 - x$と置換すると、$x = 1 - u$、$dx = -du$となります。

したがって、

$\int x\sqrt{1-x} dx = \int (1-u)\sqrt{u}(-du) = -\int (1-u)u^{\frac{1}{2}} du = -\int (u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{3}{2}}) du$

各項を積分します。

$-\int (u^{\frac{1}{2}} - u^{\frac{3}{2}}) du = -(\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}}) + C = -\frac{2}{3}(1-x)^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5}(1-x)^{\frac{5}{2}} + C$

(3) $\int \sin^4 x \cos x dx$

$u = \sin x$と置換すると、$du = \cos x dx$となります。

$\int \sin^4 x \cos x dx = \int u^4 du = \frac{1}{5}u^5 + C = \frac{1}{5}\sin^5 x + C$

(4) $\int x e^{x^2} dx$

$u = x^2$と置換すると、$du = 2x dx$、$x dx = \frac{1}{2} du$となります。

$\int x e^{x^2} dx = \int e^u \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int e^u du = \frac{1}{2}e^u + C = \frac{1}{2}e^{x^2} + C$

(5) $\int x \cos (x^2 + 1) dx$

$u = x^2 + 1$と置換すると、$du = 2x dx$、$x dx = \frac{1}{2} du$となります。

$\int x \cos (x^2 + 1) dx = \int \cos u \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \cos u du = \frac{1}{2}\sin u + C = \frac{1}{2}\sin (x^2 + 1) + C$

(6) $\int \frac{1}{x(1+\log x)} dx$

$u = 1 + \log x$と置換すると、$du = \frac{1}{x} dx$となります。

$\int \frac{1}{x(1+\log x)} dx = \int \frac{1}{u} du = \log |u| + C = \log |1 + \log x| + C$

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3. 最終的な答え**

(1) $\frac{3}{5}x^5 + \frac{9}{2}x^4 + 12x^3 + 12x^2 + C$

(2) $-\frac{2}{3}(1-x)^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5}(1-x)^{\frac{5}{2}} + C$

(3) $\frac{1}{5}\sin^5 x + C$

(4) $\frac{1}{2}e^{x^2} + C$

(5) $\frac{1}{2}\sin (x^2 + 1) + C$

(6) $\log |1 + \log x| + C$