媒介変数表示された曲線 $x = t - \sin t$, $y = 1 - \cos t$ の $t = \frac{\pi}{6}$ における接線を求めます。

1. 問題の内容

媒介変数表示された曲線 $x = t - \sin t$, $y = 1 - \cos t$ の $t = \frac{\pi}{6}$ における接線を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を計算します。

$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t - \sin t) = 1 - \cos t$

$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(1 - \cos t) = \sin t$

次に、$\frac{dy}{dx}$ を計算します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\sin t}{1 - \cos t}$

$t = \frac{\pi}{6}$ における $\frac{dy}{dx}$ の値を計算します。

$\frac{dy}{dx} |_{t=\frac{\pi}{6}} = \frac{\sin \frac{\pi}{6}}{1 - \cos \frac{\pi}{6}} = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 + \sqrt{3}$

$t = \frac{\pi}{6}$ における $x$ と $y$ の値を計算します。

$x|_{t=\frac{\pi}{6}} = \frac{\pi}{6} - \sin \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} - \frac{1}{2}$

$y|_{t=\frac{\pi}{6}} = 1 - \cos \frac{\pi}{6} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、接線の方程式は次のようになります。

$y - (1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) = (2 + \sqrt{3})(x - (\frac{\pi}{6} - \frac{1}{2}))$

$y = (2 + \sqrt{3})x - (2 + \sqrt{3})(\frac{\pi}{6} - \frac{1}{2}) + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y = (2 + \sqrt{3})x - (2 + \sqrt{3})\frac{\pi}{6} + (2 + \sqrt{3})\frac{1}{2} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y = (2 + \sqrt{3})x - \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}\pi}{6} + 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$y = (2 + \sqrt{3})x - \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}\pi}{6} + 2$

3. 最終的な答え

$y = (2 + \sqrt{3})x - \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}\pi}{6} + 2$