区間 $[-1, 1]$ において、不等式 $\arcsin x + \sqrt{2(1-x)} \leq \frac{\pi}{2}$ が成り立つことを示す問題です。

1. 問題の内容

区間 $[-1, 1]$ において、不等式 $\arcsin x + \sqrt{2(1-x)} \leq \frac{\pi}{2}$ が成り立つことを示す問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x) = \arcsin x + \sqrt{2(1-x)}$ を定義します。そして、$f(x)$ の導関数を計算し、増減を調べます。

$f(x)$ が区間 $[-1,1]$ で減少関数であることを示し、その最大値を求めることで、与えられた不等式が成り立つことを証明します。

まず、関数 $f(x)$ を定義します。

$f(x) = \arcsin x + \sqrt{2(1-x)}$

次に、$f(x)$ の導関数を計算します。

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{1}{2\sqrt{2(1-x)}} \cdot 2(-1)$

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{1}{\sqrt{2(1-x)}}$

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{(1-x)(1+x)}} - \frac{1}{\sqrt{2(1-x)}}$

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x}} \left( \frac{1}{\sqrt{1+x}} - \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$

区間 $[-1, 1]$ において、$1-x \geq 0$ なので、$\sqrt{1-x}$ は実数です。

また、$\frac{1}{\sqrt{1+x}} - \frac{1}{\sqrt{2}}$ の符号を考えます。

$x \geq -1$ より $1+x \geq 0$ です。

$x = -1$ のとき、$\frac{1}{\sqrt{1+x}} = \frac{1}{\sqrt{0}}$ となり、定義されません。

$x = 1$ のとき、$\frac{1}{\sqrt{1+x}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となります。

$-1 < x < 1$ のとき、$1+x < 2$ なので、$\sqrt{1+x} < \sqrt{2}$ となり、$\frac{1}{\sqrt{1+x}} > \frac{1}{\sqrt{2}}$ となります。

よって、$x \in (-1, 1]$ に対して、$f'(x) \leq 0$ となります。

つまり、$f(x)$ は $(-1, 1]$ で減少関数です。

$f(1) = \arcsin 1 + \sqrt{2(1-1)} = \frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{2}$

$x = -1$ のときは、

$\lim_{x \to -1+0} \arcsin x + \sqrt{2(1-x)} = -\frac{\pi}{2} + \sqrt{2(1-(-1))} = -\frac{\pi}{2} + \sqrt{4} = -\frac{\pi}{2} + 2$

$\pi \approx 3.14$ なので、$-\frac{\pi}{2} + 2 \approx -1.57 + 2 = 0.43 < \frac{\pi}{2}$ です。

したがって、$f(x) \leq \frac{\pi}{2}$ が成り立つことが示されました。

3. 最終的な答え

区間 $[-1, 1]$ において、$\arcsin x + \sqrt{2(1-x)} \leq \frac{\pi}{2}$ が成り立つ。