与えられた6つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x\to 0} \frac{e^{2x}-1}{e^{3x}-1}$ (2) $\lim_{x\to 0} (1+x+x^2)^{1/x}$ (3) $\lim_{x\to 1} x^{1/(1-x)}$ (4) $\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}$ (5) $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x - \tan x}{x^3}$ (6) $\lim_{x\to 0} \sqrt{|x|} \sin \frac{1}{x}$

1. 問題の内容

与えられた6つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x\to 0} \frac{e^{2x}-1}{e^{3x}-1}$

(2) $\lim_{x\to 0} (1+x+x^2)^{1/x}$

(3) $\lim_{x\to 1} x^{1/(1-x)}$

(4) $\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}$

(5) $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x - \tan x}{x^3}$

(6) $\lim_{x\to 0} \sqrt{|x|} \sin \frac{1}{x}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x\to 0} \frac{e^{2x}-1}{e^{3x}-1}$

$x \to 0$ のとき、$e^{2x}-1 \approx 2x$ および $e^{3x}-1 \approx 3x$ を用いると、

$\lim_{x\to 0} \frac{e^{2x}-1}{e^{3x}-1} = \lim_{x\to 0} \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}$

厳密には、$\lim_{x\to 0} \frac{e^{2x}-1}{2x} = 1$ および $\lim_{x\to 0} \frac{e^{3x}-1}{3x} = 1$ を利用して、

$\lim_{x\to 0} \frac{e^{2x}-1}{e^{3x}-1} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{e^{2x}-1}{x}}{\frac{e^{3x}-1}{x}} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{e^{2x}-1}{2x} \cdot 2}{\frac{e^{3x}-1}{3x} \cdot 3} = \frac{1\cdot 2}{1\cdot 3} = \frac{2}{3}$

(2) $\lim_{x\to 0} (1+x+x^2)^{1/x}$

$y = (1+x+x^2)^{1/x}$ とおくと、$\ln y = \frac{1}{x} \ln(1+x+x^2)$

$\lim_{x\to 0} \ln y = \lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x+x^2)}{x}$

$x \to 0$ のとき、$\ln(1+x+x^2) \approx x+x^2$ を用いると、

$\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x+x^2)}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{x+x^2}{x} = \lim_{x\to 0} (1+x) = 1$

したがって、$\lim_{x\to 0} \ln y = 1$ より、$\lim_{x\to 0} y = e^1 = e$

厳密には、$x \to 0$ で $\ln(1+x+x^2) = (x+x^2) - \frac{(x+x^2)^2}{2} + \dots$ とテイラー展開できることを用いる。

(3) $\lim_{x\to 1} x^{1/(1-x)}$

$y = x^{1/(1-x)}$ とおくと、$\ln y = \frac{1}{1-x} \ln x$

$\lim_{x\to 1} \ln y = \lim_{x\to 1} \frac{\ln x}{1-x}$

ここで、$x = 1+h$ とおくと、$x \to 1$ のとき $h \to 0$

$\lim_{x\to 1} \frac{\ln x}{1-x} = \lim_{h\to 0} \frac{\ln(1+h)}{-h}$

$\lim_{h\to 0} \frac{\ln(1+h)}{h} = 1$ より、$\lim_{h\to 0} \frac{\ln(1+h)}{-h} = -1$

したがって、$\lim_{x\to 1} \ln y = -1$ より、$\lim_{x\to 1} y = e^{-1} = \frac{1}{e}$

(4) $\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2}$

$\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{x^2(1+\cos x)} = \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos^2 x}{x^2(1+\cos x)} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin^2 x}{x^2(1+\cos x)}$

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ および $\lim_{x\to 0} \cos x = 1$ より、

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin^2 x}{x^2(1+\cos x)} = \frac{1^2}{1+1} = \frac{1}{2}$

(5) $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x - \tan x}{x^3}$

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x - \tan x}{x^3} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x - \frac{\sin x}{\cos x}}{x^3} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x(\cos x - 1)}{x^3 \cos x} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x\to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} \cdot \lim_{x\to 0} \frac{1}{\cos x}$

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$、$\lim_{x\to 0} \frac{1}{\cos x} = 1$、$\lim_{x\to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} = -\frac{1}{2}$ より、

$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x - \tan x}{x^3} = 1 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot 1 = -\frac{1}{2}$

(6) $\lim_{x\to 0} \sqrt{|x|} \sin \frac{1}{x}$

$-1 \le \sin \frac{1}{x} \le 1$ であるから、$-\sqrt{|x|} \le \sqrt{|x|} \sin \frac{1}{x} \le \sqrt{|x|}$

$\lim_{x\to 0} -\sqrt{|x|} = 0$ および $\lim_{x\to 0} \sqrt{|x|} = 0$ より、

$\lim_{x\to 0} \sqrt{|x|} \sin \frac{1}{x} = 0$ (挟みうちの原理)

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{3}$

(2) $e$

(3) $\frac{1}{e}$

(4) $\frac{1}{2}$

(5) $-\frac{1}{2}$

(6) $0$