$0 \le x \le 2\pi$ において、関数 $f(x) = \sqrt{2}\sin x - \sqrt{2}\cos x + 1 - 2\sin x \cos x$ を考える。 (1) $t = \sin x - \cos x$ とおくとき、$t$ のとりうる値の範囲を求める。 (2) $f(x)$ を(1)で定義した $t$ を用いて表す。 (3) $f(x)$ の最大値と最小値を求め、さらにそのときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

$0 \le x \le 2\pi$ において、関数 $f(x) = \sqrt{2}\sin x - \sqrt{2}\cos x + 1 - 2\sin x \cos x$ を考える。

(1) $t = \sin x - \cos x$ とおくとき、$t$ のとりうる値の範囲を求める。

(2) $f(x)$ を(1)で定義した $t$ を用いて表す。

(3) $f(x)$ の最大値と最小値を求め、さらにそのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $t = \sin x - \cos x$ を変形する。

$t = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right) = \sqrt{2} \left( \sin x \cos \frac{\pi}{4} - \cos x \sin \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right)$

$0 \le x \le 2\pi$ より $-\frac{\pi}{4} \le x - \frac{\pi}{4} \le \frac{7\pi}{4}$

したがって $-1 \le \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) \le 1$

よって $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$

(2) $f(x)$ を $t$ で表す。

$t = \sin x - \cos x$ より $t^2 = \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 - 2 \sin x \cos x$

よって $2 \sin x \cos x = 1 - t^2$

$f(x) = \sqrt{2} (\sin x - \cos x) + 1 - 2\sin x \cos x = \sqrt{2} t + 1 - (1 - t^2) = t^2 + \sqrt{2} t$

$f(t) = t^2 + \sqrt{2} t$

(3) $f(t)$ の最大値と最小値を求める。

$f(t) = t^2 + \sqrt{2} t = \left( t + \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 - \frac{1}{2}$

$-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$ の範囲で考える。

$t = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、最小値 $-\frac{1}{2}$

このとき $\sin (x - \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2}$ より $x - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$

$x = \frac{7\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = \frac{14\pi + 3\pi}{12} = \frac{17\pi}{12}$

$x = \frac{11\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = \frac{22\pi + 3\pi}{12} = \frac{25\pi}{12}$

$t = \sqrt{2}$ のとき、最大値 $(\sqrt{2})^2 + \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 + 2 = 4$

このとき $\sin (x - \frac{\pi}{4}) = 1$ より $x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

$x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $-\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}$

(2) $f(t) = t^2 + \sqrt{2} t$

(3) 最大値: 4 ($x = \frac{3\pi}{4}$), 最小値: $-\frac{1}{2}$ ($x = \frac{17\pi}{12}, \frac{25\pi}{12}$)