以下の極限を計算します。 $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} (\frac{3}{x+3} - 1)$

1. 問題の内容

以下の極限を計算します。

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} (\frac{3}{x+3} - 1)$

2. 解き方の手順

まず、括弧の中を整理します。

$\frac{3}{x+3} - 1 = \frac{3 - (x+3)}{x+3} = \frac{3 - x - 3}{x+3} = \frac{-x}{x+3}$

したがって、与えられた極限は、

$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} (\frac{-x}{x+3}) = \lim_{x \to 0} \frac{-x}{x(x+3)}$

$x \neq 0$ のとき、 $x$ で約分できるので、

$\lim_{x \to 0} \frac{-1}{x+3}$

$x \to 0$ のとき、$\frac{-1}{x+3}$ は連続なので、$x=0$ を代入できます。

$\frac{-1}{0+3} = -\frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{3}$