無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ について、$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ が収束するならば、$\lim_{n\to\infty} a_n = 0$ であることを証明する。

1. 問題の内容

無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ について、$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ が収束するならば、$\lim_{n\to\infty} a_n = 0$ であることを証明する。

2. 解き方の手順

まず、部分和 $S_n$ を定義します。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + a_2 + \dots + a_n$

級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ が収束すると仮定すると、部分和の列 $\{S_n\}$ はある値 $S$ に収束します。つまり、

$\lim_{n\to\infty} S_n = S$

$a_n$ を $S_n$ と $S_{n-1}$ を用いて表します。

$a_n = S_n - S_{n-1}$

次に、$n \to \infty$ の極限を取ります。

$\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} (S_n - S_{n-1})$

$\lim_{n\to\infty} S_n = S$ であり、$\lim_{n\to\infty} S_{n-1} = S$ であるから、

$\lim_{n\to\infty} a_n = S - S = 0$

したがって、$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ が収束するならば、$\lim_{n\to\infty} a_n = 0$ が成立します。

3. 最終的な答え

$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ が収束するならば、$\lim_{n\to\infty} a_n = 0$ である。