$\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{3x+1}-1}{\sqrt{6x+1}-1}$ を計算します。

解析学極限関数の極限有理化
2025/5/12

1. 問題の内容

limx03x+116x+11\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{3x+1}-1}{\sqrt{6x+1}-1} を計算します。

2. 解き方の手順

この極限を計算するために、分子と分母をそれぞれ有利化します。
まず、分子を有利化します。分子と分母に 3x+1+1\sqrt{3x+1}+1 をかけます。
3x+116x+11=(3x+11)(3x+1+1)(6x+11)(3x+1+1)=(3x+1)1(6x+11)(3x+1+1)=3x(6x+11)(3x+1+1)\frac{\sqrt{3x+1}-1}{\sqrt{6x+1}-1} = \frac{(\sqrt{3x+1}-1)(\sqrt{3x+1}+1)}{(\sqrt{6x+1}-1)(\sqrt{3x+1}+1)} = \frac{(3x+1)-1}{(\sqrt{6x+1}-1)(\sqrt{3x+1}+1)} = \frac{3x}{(\sqrt{6x+1}-1)(\sqrt{3x+1}+1)}
次に、分母を有利化します。6x+1+1\sqrt{6x+1}+1 を分子と分母にかけます。
3x(6x+11)(3x+1+1)=3x(6x+1+1)(6x+11)(6x+1+1)(3x+1+1)=3x(6x+1+1)((6x+1)1)(3x+1+1)=3x(6x+1+1)6x(3x+1+1)\frac{3x}{(\sqrt{6x+1}-1)(\sqrt{3x+1}+1)} = \frac{3x(\sqrt{6x+1}+1)}{(\sqrt{6x+1}-1)(\sqrt{6x+1}+1)(\sqrt{3x+1}+1)} = \frac{3x(\sqrt{6x+1}+1)}{((6x+1)-1)(\sqrt{3x+1}+1)} = \frac{3x(\sqrt{6x+1}+1)}{6x(\sqrt{3x+1}+1)}
x0x \neq 0 のとき、3x(6x+1+1)6x(3x+1+1)=3(6x+1+1)6(3x+1+1)=6x+1+12(3x+1+1)\frac{3x(\sqrt{6x+1}+1)}{6x(\sqrt{3x+1}+1)} = \frac{3(\sqrt{6x+1}+1)}{6(\sqrt{3x+1}+1)} = \frac{\sqrt{6x+1}+1}{2(\sqrt{3x+1}+1)}
したがって、
limx03x+116x+11=limx06x+1+12(3x+1+1)=6(0)+1+12(3(0)+1+1)=1+12(1+1)=1+12(1+1)=22(2)=24=12\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{3x+1}-1}{\sqrt{6x+1}-1} = \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{6x+1}+1}{2(\sqrt{3x+1}+1)} = \frac{\sqrt{6(0)+1}+1}{2(\sqrt{3(0)+1}+1)} = \frac{\sqrt{1}+1}{2(\sqrt{1}+1)} = \frac{1+1}{2(1+1)} = \frac{2}{2(2)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

3. 最終的な答え

12\frac{1}{2}

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