関数 $f(x) = (\log x)^2 + 4\log x$ が与えられている。 (1) $f(x)$ の極小値とそのときの $x$ の値を求める。 (2) 曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = 12$ で囲まれた図形の面積を求める。ただし、$\log$ は自然対数とする。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (\log x)^2 + 4\log x$ が与えられている。

(1) $f(x)$ の極小値とそのときの $x$ の値を求める。

(2) 曲線 $y = f(x)$ と直線 $y = 12$ で囲まれた図形の面積を求める。ただし、$\log$ は自然対数とする。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を微分して極値を求める。

$f'(x) = \frac{2(\log x)}{x} + \frac{4}{x} = \frac{2(\log x + 2)}{x}$

$f'(x) = 0$ となるのは $\log x = -2$ のとき、つまり $x = e^{-2}$ である。

$x < e^{-2}$ のとき $f'(x) < 0$ であり、$x > e^{-2}$ のとき $f'(x) > 0$ であるため、$x = e^{-2}$ で極小となる。

このとき、

$f(e^{-2}) = (\log e^{-2})^2 + 4\log e^{-2} = (-2)^2 + 4(-2) = 4 - 8 = -4$

したがって、$x = e^{-2}$ で極小値 $-4$ をとる。

(2) $f(x) = 12$ となる $x$ を求める。

$(\log x)^2 + 4\log x = 12$

$(\log x)^2 + 4\log x - 12 = 0$

$(\log x + 6)(\log x - 2) = 0$

よって、$\log x = -6$ または $\log x = 2$

したがって、$x = e^{-6}$ または $x = e^2$

求める面積は、

$\int_{e^{-6}}^{e^2} (12 - ((\log x)^2 + 4\log x)) dx = \int_{e^{-6}}^{e^2} (12 - (\log x)^2 - 4\log x) dx$

ここで、$I = \int (\log x)^2 dx$ とすると、部分積分より

$I = x(\log x)^2 - \int x \cdot 2\log x \cdot \frac{1}{x} dx = x(\log x)^2 - 2\int \log x dx$

$\int \log x dx = x\log x - x + C$ なので、

$I = x(\log x)^2 - 2(x\log x - x) + C = x(\log x)^2 - 2x\log x + 2x + C$

$\int \log x dx = x\log x - x + C$

したがって、

$\int_{e^{-6}}^{e^2} (12 - (\log x)^2 - 4\log x) dx = [12x - (x(\log x)^2 - 2x\log x + 2x) - 4(x\log x - x)]_{e^{-6}}^{e^2}$

$= [12x - x(\log x)^2 - 2x\log x - 2x]_{e^{-6}}^{e^2}$

$= [10x - x(\log x)^2 - 2x\log x]_{e^{-6}}^{e^2}$

$= [10e^2 - e^2(2)^2 - 2e^2(2)] - [10e^{-6} - e^{-6}(-6)^2 - 2e^{-6}(-6)]$

$= [10e^2 - 4e^2 - 4e^2] - [10e^{-6} - 36e^{-6} + 12e^{-6}]$

$= 2e^2 - (-14e^{-6}) = 2e^2 + 14e^{-6}$

3. 最終的な答え

(1) $x = e^{-2}$ で極小値 $-4$ をとる。

(2) $2e^2 + 14e^{-6}$

したがって、空欄に入る数字は

1: 2

2: 4

3: 2

4: 2

5: 1

6: 4

7: 6