次の三角関数の積を和または差の形に変形せよ。（問題(1)と(2)のみ回答します。） (1) $2 \sin 3\theta \cos 5\theta$ (2) $\sin 2\theta \sin \theta$

1. 問題の内容

次の三角関数の積を和または差の形に変形せよ。（問題(1)と(2)のみ回答します。）

(1) $2 \sin 3\theta \cos 5\theta$

(2) $\sin 2\theta \sin \theta$

2. 解き方の手順

(1) 積和の公式を使う。

$\sin A \cos B = \frac{1}{2}\{\sin(A+B) + \sin(A-B)\}$

これに$A = 3\theta$, $B = 5\theta$を代入する。

$2 \sin 3\theta \cos 5\theta = 2 \cdot \frac{1}{2}\{\sin(3\theta+5\theta) + \sin(3\theta-5\theta)\}$

$= \sin(8\theta) + \sin(-2\theta)$

$= \sin(8\theta) - \sin(2\theta)$

(2) 積和の公式を使う。

$\cos(A-B) - \cos(A+B) = 2 \sin A \sin B$

$\sin A \sin B = \frac{1}{2}\{\cos(A-B) - \cos(A+B)\}$

これに$A = 2\theta$, $B = \theta$を代入する。

$\sin 2\theta \sin \theta = \frac{1}{2}\{\cos(2\theta-\theta) - \cos(2\theta+\theta)\}$

$= \frac{1}{2}\{\cos(\theta) - \cos(3\theta)\}$

$= \frac{1}{2}\cos \theta - \frac{1}{2}\cos 3\theta$

3. 最終的な答え

(1) $\sin 8\theta - \sin 2\theta$

(2) $\frac{1}{2}\cos \theta - \frac{1}{2}\cos 3\theta$