定積分 $\int_{1}^{4} \frac{1+x}{\sqrt{x}} dx$ を計算します。

## 定積分問題の解答

ここでは、画像にある定積分問題のうち、以下の問題を解きます。

**(1)** $\int_{1}^{4} \frac{1+x}{\sqrt{x}} dx$

**(2)** $\int_{0}^{\pi} \tan \frac{\theta}{3} d\theta$

**(3)** $\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\pi} \cos^2 2\theta d\theta$

**(4)** $\int_{0}^{2} \frac{x}{(3-x)^2} dx$

**(5)** $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cos^3 x dx$

**(6)** $\int_{1}^{4} \sqrt{x} \log x dx$

**(7)** $\int_{-a}^{a} x^2 \sqrt{a^2 - x^2} dx$ (aは正の定数)

**(8)** $\int_{-a}^{a} \frac{x^2}{x^2 + a^2} dx$ (aは正の定数)

### (1) $\int_{1}^{4} \frac{1+x}{\sqrt{x}} dx$

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{4} \frac{1+x}{\sqrt{x}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を$\sqrt{x}$で分割します。

$\int_{1}^{4} \frac{1+x}{\sqrt{x}} dx = \int_{1}^{4} (\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{x}{\sqrt{x}}) dx = \int_{1}^{4} (x^{-\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}) dx$

次に積分を実行します。

$\int_{1}^{4} (x^{-\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}) dx = [2x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

積分範囲を適用します。

$[2x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} = (2\sqrt{4} + \frac{2}{3}4\sqrt{4}) - (2\sqrt{1} + \frac{2}{3}1\sqrt{1})$

$= (2(2) + \frac{2}{3}(4)(2)) - (2 + \frac{2}{3}) = 4 + \frac{16}{3} - 2 - \frac{2}{3} = 2 + \frac{14}{3} = \frac{6+14}{3} = \frac{20}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{20}{3}$

### (2) $\int_{0}^{\pi} \tan \frac{\theta}{3} d\theta$

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\pi} \tan \frac{\theta}{3} d\theta$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$を利用します。

$\int_{0}^{\pi} \tan \frac{\theta}{3} d\theta = \int_{0}^{\pi} \frac{\sin \frac{\theta}{3}}{\cos \frac{\theta}{3}} d\theta$

置換積分を行います。$u = \cos \frac{\theta}{3}$とおくと、$\frac{du}{d\theta} = -\frac{1}{3}\sin \frac{\theta}{3}$なので、$d\theta = -3 \frac{du}{\sin \frac{\theta}{3}}$です。

積分範囲も変更します。$\theta = 0$ のとき $u = \cos 0 = 1$。$\theta = \pi$ のとき $u = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$。

$\int_{0}^{\pi} \frac{\sin \frac{\theta}{3}}{\cos \frac{\theta}{3}} d\theta = \int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{\sin \frac{\theta}{3}}{u} (-3 \frac{du}{\sin \frac{\theta}{3}}) = -3 \int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{u} du = -3[\log |u|]_{1}^{\frac{1}{2}}$

$= -3 (\log \frac{1}{2} - \log 1) = -3 (\log \frac{1}{2} - 0) = -3 \log \frac{1}{2} = -3 (-\log 2) = 3 \log 2$

3. 最終的な答え

$3 \log 2$

### (3) $\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\pi} \cos^2 2\theta d\theta$

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\pi} \cos^2 2\theta d\theta$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$を利用します。

$\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\pi} \cos^2 2\theta d\theta = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\pi} \frac{1 + \cos 4\theta}{2} d\theta = \frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\pi} (1 + \cos 4\theta) d\theta$

積分を実行します。

$\frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\pi} (1 + \cos 4\theta) d\theta = \frac{1}{2}[\theta + \frac{1}{4} \sin 4\theta]_{-\frac{\pi}{6}}^{\pi}$

積分範囲を適用します。

$\frac{1}{2}[\theta + \frac{1}{4} \sin 4\theta]_{-\frac{\pi}{6}}^{\pi} = \frac{1}{2}[(\pi + \frac{1}{4}\sin 4\pi) - (-\frac{\pi}{6} + \frac{1}{4}\sin (-\frac{4\pi}{6}))]$

$= \frac{1}{2}[(\pi + 0) - (-\frac{\pi}{6} + \frac{1}{4}(-\frac{\sqrt{3}}{2}))] = \frac{1}{2}[\pi + \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{8}] = \frac{1}{2}[\frac{7\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{8}] = \frac{7\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{16}$

3. 最終的な答え

$\frac{7\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{16}$

### (4) $\int_{0}^{2} \frac{x}{(3-x)^2} dx$

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{2} \frac{x}{(3-x)^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$u = 3-x$とおくと、$x = 3-u$、$dx = -du$です。

積分範囲も変更します。$x = 0$ のとき $u = 3$。$x = 2$ のとき $u = 1$。

$\int_{0}^{2} \frac{x}{(3-x)^2} dx = \int_{3}^{1} \frac{3-u}{u^2} (-du) = \int_{1}^{3} \frac{3-u}{u^2} du = \int_{1}^{3} (\frac{3}{u^2} - \frac{1}{u}) du = \int_{1}^{3} (3u^{-2} - \frac{1}{u}) du$

積分を実行します。

$\int_{1}^{3} (3u^{-2} - \frac{1}{u}) du = [-3u^{-1} - \log |u|]_{1}^{3} = [-\frac{3}{u} - \log |u|]_{1}^{3}$

積分範囲を適用します。

$[-\frac{3}{u} - \log |u|]_{1}^{3} = (-\frac{3}{3} - \log 3) - (-\frac{3}{1} - \log 1) = (-1 - \log 3) - (-3 - 0) = -1 - \log 3 + 3 = 2 - \log 3$

3. 最終的な答え

$2 - \log 3$

### (5) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cos^3 x dx$

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cos^3 x dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

$u = \cos x$とおくと、$du = -\sin x dx$、$dx = -\frac{du}{\sin x}$です。

積分範囲も変更します。$x = 0$ のとき $u = \cos 0 = 1$。$x = \frac{\pi}{2}$ のとき $u = \cos \frac{\pi}{2} = 0$。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cos^3 x dx = \int_{1}^{0} \sin x \cdot u^3 (-\frac{du}{\sin x}) = -\int_{1}^{0} u^3 du = \int_{0}^{1} u^3 du$

積分を実行します。

$\int_{0}^{1} u^3 du = [\frac{1}{4}u^4]_{0}^{1}$

積分範囲を適用します。

$[\frac{1}{4}u^4]_{0}^{1} = \frac{1}{4}(1)^4 - \frac{1}{4}(0)^4 = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}$

### (6) $\int_{1}^{4} \sqrt{x} \log x dx$

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{4} \sqrt{x} \log x dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を使用します。$\int u v' dx = uv - \int u'v dx$

$u = \log x$, $v' = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$とおくと、$u' = \frac{1}{x}$, $v = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$

$\int_{1}^{4} \sqrt{x} \log x dx = [\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\log x]_{1}^{4} - \int_{1}^{4} \frac{1}{x} \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} dx = [\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\log x]_{1}^{4} - \frac{2}{3}\int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} dx$

積分を実行します。

$[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\log x]_{1}^{4} - \frac{2}{3}\int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} dx = [\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\log x]_{1}^{4} - \frac{2}{3}[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

積分範囲を適用します。

$[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\log x]_{1}^{4} - \frac{2}{3}[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4} = (\frac{2}{3}4^{\frac{3}{2}}\log 4 - \frac{2}{3}1^{\frac{3}{2}}\log 1) - \frac{4}{9}(4^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}}) = (\frac{2}{3}(8)\log 4 - 0) - \frac{4}{9}(8-1) = \frac{16}{3}\log 4 - \frac{4}{9}(7) = \frac{16}{3}\log 4 - \frac{28}{9}$

$\frac{16}{3}\log 4 - \frac{28}{9} = \frac{16}{3}\log 2^2 - \frac{28}{9} = \frac{16}{3}(2\log 2) - \frac{28}{9} = \frac{32}{3}\log 2 - \frac{28}{9}$

3. 最終的な答え

$\frac{32}{3}\log 2 - \frac{28}{9}$

### (7) $\int_{-a}^{a} x^2 \sqrt{a^2 - x^2} dx$ (aは正の定数)

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-a}^{a} x^2 \sqrt{a^2 - x^2} dx$ を計算します。ただし、$a$は正の定数です。

2. 解き方の手順

$x = a\sin \theta$ と置換します。すると、$dx = a\cos \theta d\theta$ となります。

積分範囲も変更します。$x = -a$ のとき $a\sin \theta = -a$ なので $\sin \theta = -1$ となり、$\theta = -\frac{\pi}{2}$です。$x = a$ のとき $a\sin \theta = a$ なので $\sin \theta = 1$ となり、$\theta = \frac{\pi}{2}$です。

$\int_{-a}^{a} x^2 \sqrt{a^2 - x^2} dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (a\sin \theta)^2 \sqrt{a^2 - (a\sin \theta)^2} (a\cos \theta) d\theta = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} a^2 \sin^2 \theta \sqrt{a^2 - a^2\sin^2 \theta} (a\cos \theta) d\theta$

$= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} a^2 \sin^2 \theta \sqrt{a^2(1 - \sin^2 \theta)} (a\cos \theta) d\theta = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} a^2 \sin^2 \theta \cdot a\cos \theta \cdot a\cos \theta d\theta = a^4 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 \theta \cos^2 \theta d\theta$

$\sin^2 \theta \cos^2 \theta = (\sin \theta \cos \theta)^2 = (\frac{1}{2}\sin 2\theta)^2 = \frac{1}{4}\sin^2 2\theta = \frac{1}{4}(\frac{1 - \cos 4\theta}{2}) = \frac{1 - \cos 4\theta}{8}$

$a^4 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 \theta \cos^2 \theta d\theta = a^4 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos 4\theta}{8} d\theta = \frac{a^4}{8} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos 4\theta) d\theta = \frac{a^4}{8} [\theta - \frac{1}{4}\sin 4\theta]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$

$= \frac{a^4}{8} [(\frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}\sin 2\pi) - (-\frac{\pi}{2} - \frac{1}{4}\sin (-2\pi))] = \frac{a^4}{8} [(\frac{\pi}{2} - 0) - (-\frac{\pi}{2} - 0)] = \frac{a^4}{8} [\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}] = \frac{a^4}{8}\pi = \frac{\pi a^4}{8}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi a^4}{8}$

### (8) $\int_{-a}^{a} \frac{x^2}{x^2 + a^2} dx$ (aは正の定数)

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-a}^{a} \frac{x^2}{x^2 + a^2} dx$ を計算します。ただし、$a$は正の定数です。

2. 解き方の手順

$\frac{x^2}{x^2+a^2} = \frac{x^2+a^2-a^2}{x^2+a^2} = 1 - \frac{a^2}{x^2+a^2}$ を利用します。

$\int_{-a}^{a} \frac{x^2}{x^2 + a^2} dx = \int_{-a}^{a} (1 - \frac{a^2}{x^2 + a^2}) dx = \int_{-a}^{a} 1 dx - a^2 \int_{-a}^{a} \frac{1}{x^2 + a^2} dx$

$\int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan(\frac{x}{a})$

$\int_{-a}^{a} 1 dx - a^2 \int_{-a}^{a} \frac{1}{x^2 + a^2} dx = [x]_{-a}^{a} - a^2 [\frac{1}{a} \arctan(\frac{x}{a})]_{-a}^{a}$

$= (a - (-a)) - a [\arctan(\frac{a}{a}) - \arctan(\frac{-a}{a})] = 2a - a [\arctan(1) - \arctan(-1)] = 2a - a [\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})] = 2a - a [\frac{\pi}{2}] = 2a - \frac{\pi a}{2}$

3. 最終的な答え

$2a - \frac{\pi a}{2}$ or $a(2 - \frac{\pi}{2})$