$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解け。 $\sin 3\theta - \sin \theta = 0$

## 問題313(1)

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解け。

$\sin 3\theta - \sin \theta = 0$

2. 解き方の手順

まず、三角関数の差を積に変換する公式を用いる。

$\sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$

この公式に $A = 3\theta$, $B = \theta$ を代入すると、

$\sin 3\theta - \sin \theta = 2 \cos \frac{3\theta + \theta}{2} \sin \frac{3\theta - \theta}{2} = 2 \cos 2\theta \sin \theta = 0$

したがって、

$2 \cos 2\theta \sin \theta = 0$

となる。この式が成り立つのは、$\cos 2\theta = 0$ または $\sin \theta = 0$ のときである。

(i) $\cos 2\theta = 0$ のとき

$2\theta = \frac{\pi}{2} + n\pi$ (nは整数)

$\theta = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}$

$0 \le \theta < 2\pi$ より、

$\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

(ii) $\sin \theta = 0$ のとき

$\theta = n\pi$ (nは整数)

$0 \le \theta < 2\pi$ より、

$\theta = 0, \pi$

(i), (ii) より、解は

$\theta = 0, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \pi, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\theta = 0, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \pi, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$