(i) (1) 正の実数 $a$ に対して、$f(x) = \sinh^{-1}(\frac{x}{a})$ とおくとき、$f'(x)$ を求める。 (2) 定積分 $I = \int_0^{21} \frac{1}{\sqrt{x^2 + 400}} dx$ の値を求める。逆双曲線関数を用いずに解答する。 (ii) 極限 $L = \lim_{x \to 0} \frac{\tan(e^{2x}) - \tan(1 + 2x + x^2)}{e^x - 1 - x}$ を求める。

1. 問題の内容

(i)

(1) 正の実数 $a$ に対して、$f(x) = \sinh^{-1}(\frac{x}{a})$ とおくとき、$f'(x)$ を求める。

(2) 定積分 $I = \int_0^{21} \frac{1}{\sqrt{x^2 + 400}} dx$ の値を求める。逆双曲線関数を用いずに解答する。

(ii)

極限 $L = \lim_{x \to 0} \frac{\tan(e^{2x}) - \tan(1 + 2x + x^2)}{e^x - 1 - x}$ を求める。

2. 解き方の手順

(i) (1)

$f(x) = \sinh^{-1}(\frac{x}{a})$ の微分を計算する。

$\sinh^{-1}(x)$ の微分は $\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$ である。

連鎖律を用いると、

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{(\frac{x}{a})^2 + 1}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{\frac{x^2}{a^2} + 1}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{\frac{x^2 + a^2}{a^2}}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{\frac{\sqrt{x^2 + a^2}}{a}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{a}{\sqrt{x^2 + a^2}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}}$

(i) (2)

$I = \int_0^{21} \frac{1}{\sqrt{x^2 + 400}} dx$ を計算する。

$x = 20 \sinh(t)$ と置換する。すると、$dx = 20 \cosh(t) dt$ であり、

$\sqrt{x^2 + 400} = \sqrt{400 \sinh^2(t) + 400} = \sqrt{400(\sinh^2(t) + 1)} = \sqrt{400 \cosh^2(t)} = 20 \cosh(t)$ となる。

$x = 0$ のとき、$20 \sinh(t) = 0$ なので、$\sinh(t) = 0$ より $t = 0$ である。

$x = 21$ のとき、$20 \sinh(t) = 21$ なので、$\sinh(t) = \frac{21}{20}$ より $t = \sinh^{-1}(\frac{21}{20})$ である。

$I = \int_0^{\sinh^{-1}(\frac{21}{20})} \frac{1}{20 \cosh(t)} 20 \cosh(t) dt = \int_0^{\sinh^{-1}(\frac{21}{20})} 1 dt = [t]_0^{\sinh^{-1}(\frac{21}{20})} = \sinh^{-1}(\frac{21}{20}) - 0 = \sinh^{-1}(\frac{21}{20})$

$\sinh^{-1}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$ なので、

$I = \ln(\frac{21}{20} + \sqrt{(\frac{21}{20})^2 + 1}) = \ln(\frac{21}{20} + \sqrt{\frac{441}{400} + \frac{400}{400}}) = \ln(\frac{21}{20} + \sqrt{\frac{841}{400}}) = \ln(\frac{21}{20} + \frac{29}{20}) = \ln(\frac{50}{20}) = \ln(\frac{5}{2})$

(ii)

$L = \lim_{x \to 0} \frac{\tan(e^{2x}) - \tan(1 + 2x + x^2)}{e^x - 1 - x}$ を求める。

$e^{2x} = 1 + 2x + \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^3}{3!} + \cdots = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3} x^3 + \cdots$

$\tan(x)$ を $x = 1$ の周りでテイラー展開すると、

$\tan(x) = \tan(1) + \sec^2(1) (x-1) + \frac{2 \sec^2(1) \tan(1)}{2!} (x-1)^2 + \cdots$

$\tan(e^{2x}) = \tan(1 + 2x + 2x^2 + \cdots) = \tan(1) + \sec^2(1) (2x + 2x^2 + \cdots) + \sec^2(1) \tan(1) (2x + 2x^2 + \cdots)^2 + \cdots$

$\tan(1 + 2x + x^2) = \tan(1) + \sec^2(1) (2x + x^2) + \sec^2(1) \tan(1) (2x + x^2)^2 + \cdots$

$\tan(e^{2x}) - \tan(1 + 2x + x^2) = \sec^2(1) (2x^2 - x^2) + O(x^3) = \sec^2(1) x^2 + O(x^3)$

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

$e^x - 1 - x = \frac{x^2}{2} + O(x^3)$

$L = \lim_{x \to 0} \frac{\sec^2(1) x^2 + O(x^3)}{\frac{x^2}{2} + O(x^3)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sec^2(1) + O(x)}{\frac{1}{2} + O(x)} = \frac{\sec^2(1)}{\frac{1}{2}} = 2 \sec^2(1) = \frac{2}{\cos^2(1)}$

3. 最終的な答え

(i) (1) $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}}$

(i) (2) $I = \ln(\frac{5}{2})$

(ii) $L = 2 \sec^2(1) = \frac{2}{\cos^2(1)}$