以下の三角関数の式について、積を和または差の形に、和・差を積の形に変形し、(5),(6)についてはその値を求める。 (1) $2 \sin 3\theta \cos 5\theta$ (2) $\sin 2\theta \sin \theta$ (3) $\cos 4\theta + \cos 6\theta$ (4) $\sin 5\theta - \sin 3\theta$ (5) $\sin 105^\circ + \sin 15^\circ$ (6) $\cos 105^\circ - \cos 15^\circ$

はい、承知いたしました。三角関数の積和・和積の公式を利用して問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の三角関数の式について、積を和または差の形に、和・差を積の形に変形し、(5),(6)についてはその値を求める。

(1) $2 \sin 3\theta \cos 5\theta$

(2) $\sin 2\theta \sin \theta$

(3) $\cos 4\theta + \cos 6\theta$

(4) $\sin 5\theta - \sin 3\theta$

(5) $\sin 105^\circ + \sin 15^\circ$

(6) $\cos 105^\circ - \cos 15^\circ$

2. 解き方の手順

(1) 積和の公式 $2 \sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$ を用いる。

$2 \sin 3\theta \cos 5\theta = \sin(3\theta + 5\theta) + \sin(3\theta - 5\theta) = \sin 8\theta + \sin (-2\theta) = \sin 8\theta - \sin 2\theta$

(2) 積和の公式 $2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ を用いる。

$\sin 2\theta \sin \theta = \frac{1}{2} (2\sin 2\theta \sin \theta) = \frac{1}{2} (\cos(2\theta - \theta) - \cos(2\theta + \theta)) = \frac{1}{2}(\cos \theta - \cos 3\theta)$

(3) 和積の公式 $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ を用いる。

$\cos 4\theta + \cos 6\theta = 2 \cos \frac{4\theta + 6\theta}{2} \cos \frac{4\theta - 6\theta}{2} = 2 \cos 5\theta \cos (-\theta) = 2 \cos 5\theta \cos \theta$

(4) 和積の公式 $\sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$ を用いる。

$\sin 5\theta - \sin 3\theta = 2 \cos \frac{5\theta + 3\theta}{2} \sin \frac{5\theta - 3\theta}{2} = 2 \cos 4\theta \sin \theta$

(5) 和積の公式 $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$ を用いる。

$\sin 105^\circ + \sin 15^\circ = 2 \sin \frac{105^\circ + 15^\circ}{2} \cos \frac{105^\circ - 15^\circ}{2} = 2 \sin 60^\circ \cos 45^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

(6) 和積の公式 $\cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$ を用いる。

$\cos 105^\circ - \cos 15^\circ = -2 \sin \frac{105^\circ + 15^\circ}{2} \sin \frac{105^\circ - 15^\circ}{2} = -2 \sin 60^\circ \sin 45^\circ = -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin 8\theta - \sin 2\theta$

(2) $\frac{1}{2}(\cos \theta - \cos 3\theta)$

(3) $2 \cos 5\theta \cos \theta$

(4) $2 \cos 4\theta \sin \theta$

(5) $\frac{\sqrt{6}}{2}$

(6) $-\frac{\sqrt{6}}{2}$