関数 $f(x) = \frac{\log x}{\sqrt{x}}$ ($1 \le x \le 8$) について、以下の問いに答える。 (1) $f(x)$ の最大値と最小値を求める。 (2) 曲線 $y=f(x)$, $x$軸, および直線 $x=e$ で囲まれた図形を$x$軸の周りに1回転してできる立体の体積を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{\log x}{\sqrt{x}}$ ($1 \le x \le 8$) について、以下の問いに答える。

(1) $f(x)$ の最大値と最小値を求める。

(2) 曲線 $y=f(x)$, $x$軸, および直線 $x=e$ で囲まれた図形を$x$軸の周りに1回転してできる立体の体積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$f(x) = \frac{\log x}{\sqrt{x}}$ の最大値と最小値を求める。

まず、$f(x)$ の導関数を計算する。

$f'(x) = \frac{\frac{1}{x}\sqrt{x} - \log x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{\log x}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{2 - \log x}{2x\sqrt{x}}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$2 - \log x = 0$ より $\log x = 2$。よって $x = e^2$。

$1 \le x \le 8$ で $f(x)$ を考える。

$e^2 \approx 7.389$ であるので、 $1 \le x \le 8$ の範囲に $x = e^2$ が含まれる。

$x = 1$ のとき $f(1) = \frac{\log 1}{\sqrt{1}} = \frac{0}{1} = 0$

$x = e^2$ のとき $f(e^2) = \frac{\log e^2}{\sqrt{e^2}} = \frac{2}{e}$

$x = 8$ のとき $f(8) = \frac{\log 8}{\sqrt{8}} = \frac{\log 2^3}{\sqrt{2^3}} = \frac{3\log 2}{2\sqrt{2}}$

$f(1)=0$, $f(e^2) = \frac{2}{e} \approx \frac{2}{2.718} \approx 0.735$, $f(8) = \frac{3\log 2}{2\sqrt{2}} \approx \frac{3 \cdot 0.693}{2 \cdot 1.414} \approx \frac{2.079}{2.828} \approx 0.735$

$\frac{2}{e}$ が最大値, $0$が最小値であることが予想される。

増減表を書くと、

$x$ | $1$ | ... | $e^2$ | ... | $8$

------- | -------- | -------- | -------- | -------- | --------

$f'(x)$ | | $+$ | $0$ | $-$ |

$f(x)$ | $0$ | $\nearrow$ | $\frac{2}{e}$ | $\searrow$ | $\frac{3\log 2}{2\sqrt{2}}$

$f(8) = \frac{3\log 2}{2\sqrt{2}} = \frac{3\log 2}{2\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2} \log 2}{4}$.

$\frac{2}{e} - \frac{3\log 2}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{e} - \frac{3\log 2}{2\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2} - 3e\log 2}{2\sqrt{2}e}$

$4\sqrt{2} \approx 4 \times 1.414 \approx 5.656$

$3e\log 2 \approx 3 \times 2.718 \times 0.693 \approx 5.656$

$f(e^2)$の方が大きいことがわかる。

したがって、最大値は$\frac{2}{e}$, 最小値は$0$となる。

(2)

$V = \pi \int_{1}^{e} (f(x))^2 dx = \pi \int_{1}^{e} \left( \frac{\log x}{\sqrt{x}} \right)^2 dx = \pi \int_{1}^{e} \frac{(\log x)^2}{x} dx$

$t = \log x$ とすると $dt = \frac{1}{x}dx$

$x=1$ のとき $t = \log 1 = 0$

$x=e$ のとき $t = \log e = 1$

$V = \pi \int_{0}^{1} t^2 dt = \pi \left[ \frac{1}{3}t^3 \right]_{0}^{1} = \pi \left( \frac{1}{3} - 0 \right) = \frac{\pi}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $\frac{2}{e}$, 最小値: $0$

(2) $\frac{\pi}{3}$