(1) $(\cos \frac{\pi}{12} + i\sin \frac{\pi}{12})^{12}$ を計算する。 (2) $\int_{1}^{e^3} \frac{1}{x} dx$ を計算する。 (3) 関数 $f(x)$ が $\int_{a}^{x} f(t) dt = (x-2)e^x$ を満たすとき、$f(x)$ と $a$ を求める。 (4) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n} \sin \frac{k}{n} \pi$ を計算する。

1. 問題の内容

(1) $(\cos \frac{\pi}{12} + i\sin \frac{\pi}{12})^{12}$ を計算する。

(2) $\int_{1}^{e^3} \frac{1}{x} dx$ を計算する。

(3) 関数 $f(x)$ が $\int_{a}^{x} f(t) dt = (x-2)e^x$ を満たすとき、$f(x)$ と $a$ を求める。

(4) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n} \sin \frac{k}{n} \pi$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1) ド・モアブルの定理より、

$(\cos \frac{\pi}{12} + i\sin \frac{\pi}{12})^{12} = \cos (\frac{\pi}{12} \times 12) + i\sin (\frac{\pi}{12} \times 12) = \cos \pi + i\sin \pi = -1 + i \times 0 = -1$

(2) $\int_{1}^{e^3} \frac{1}{x} dx = [\ln |x|]_{1}^{e^3} = \ln e^3 - \ln 1 = 3\ln e - 0 = 3$

(3) $\int_{a}^{x} f(t) dt = (x-2)e^x$ の両辺を $x$ で微分すると、

$f(x) = e^x + (x-2)e^x = (1 + x - 2)e^x = (x-1)e^x$

また、$x = a$ を代入すると、

$\int_{a}^{a} f(t) dt = (a-2)e^a$

$0 = (a-2)e^a$

$e^a > 0$ より $a-2 = 0$ なので、$a = 2$

(4) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n} \sin \frac{k}{n} \pi = \int_{0}^{1} x \sin (\pi x) dx$

部分積分を行う。$u = x$, $dv = \sin(\pi x) dx$ とすると、$du = dx$, $v = -\frac{1}{\pi}\cos(\pi x)$ である。

$\int_{0}^{1} x \sin (\pi x) dx = [-\frac{x}{\pi}\cos(\pi x)]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{1}{\pi}\cos(\pi x) dx = [-\frac{x}{\pi}\cos(\pi x)]_{0}^{1} + [\frac{1}{\pi^2}\sin(\pi x)]_{0}^{1} = (-\frac{1}{\pi}\cos\pi - 0) + (\frac{1}{\pi^2}\sin\pi - \frac{1}{\pi^2}\sin 0) = \frac{1}{\pi} + 0 = \frac{1}{\pi}$

3. 最終的な答え

(1) -1

(2) 3

(3) $f(x) = (x-1)e^x$, $a = 2$

(4) $\frac{1}{\pi}$