関数 $f(x) = \frac{\sqrt{ax+1}-3}{x-2}$ が $x \to 2$ のとき収束するように、定数 $a$ の値を定め、そのときの極限値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{\sqrt{ax+1}-3}{x-2}$ が $x \to 2$ のとき収束するように、定数 $a$ の値を定め、そのときの極限値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x \to 2$ のとき、$x-2 \to 0$ であるので、関数が収束するためには、分子 $\sqrt{ax+1}-3$ も $0$ に近づく必要がある。

したがって、

$\sqrt{2a+1} - 3 = 0$

$\sqrt{2a+1} = 3$

$2a+1 = 9$

$2a = 8$

$a = 4$

次に、$a=4$ のとき、極限値を求める。

$f(x) = \frac{\sqrt{4x+1}-3}{x-2}$

分子を有理化する。

$f(x) = \frac{(\sqrt{4x+1}-3)(\sqrt{4x+1}+3)}{(x-2)(\sqrt{4x+1}+3)} = \frac{(4x+1)-9}{(x-2)(\sqrt{4x+1}+3)} = \frac{4x-8}{(x-2)(\sqrt{4x+1}+3)} = \frac{4(x-2)}{(x-2)(\sqrt{4x+1}+3)}$

$x \neq 2$ において、$f(x) = \frac{4}{\sqrt{4x+1}+3}$ となる。

したがって、$x \to 2$ のとき、

$\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{4}{\sqrt{4x+1}+3} = \frac{4}{\sqrt{4 \cdot 2+1}+3} = \frac{4}{\sqrt{9}+3} = \frac{4}{3+3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$a = 4$

極限値は $\frac{2}{3}$