関数 $f(x)$ が $f(x) = \int_{-1}^{1} |t^2 - x^2| dt$ で定義されているとき、$0 \le x \le 1$ における $f(x)$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が $f(x) = \int_{-1}^{1} |t^2 - x^2| dt$ で定義されているとき、$0 \le x \le 1$ における $f(x)$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

$|t^2 - x^2|$ の絶対値を外すために、$t^2 - x^2$ の符号を考慮する。$t^2 - x^2 = 0$ となるのは $t = \pm x$ のときである。

$0 \le x \le 1$ のとき、積分区間 $[-1, 1]$ を $-1 \le t \le -x$, $-x \le t \le x$, $x \le t \le 1$ のように場合分けする。

$f(x) = \int_{-1}^{1} |t^2 - x^2| dt$

$0 \le x \le 1$ のとき、

$f(x) = \int_{-1}^{-x} (t^2 - x^2) dt + \int_{-x}^{x} (x^2 - t^2) dt + \int_{x}^{1} (t^2 - x^2) dt$

各積分を計算する。

$\int (t^2 - x^2) dt = \frac{t^3}{3} - x^2 t + C$

$\int (x^2 - t^2) dt = x^2 t - \frac{t^3}{3} + C$

$f(x) = [\frac{t^3}{3} - x^2 t]_{-1}^{-x} + [x^2 t - \frac{t^3}{3}]_{-x}^{x} + [\frac{t^3}{3} - x^2 t]_{x}^{1}$

$f(x) = (\frac{-x^3}{3} + x^3) - (\frac{-1}{3} + x^2) + (x^3 - \frac{x^3}{3}) - (-x^3 + \frac{x^3}{3}) + (\frac{1}{3} - x^2) - (\frac{x^3}{3} - x^3)$

$f(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{3} - x^2 + \frac{2}{3}x^3 + \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{3} - x^2 - \frac{2}{3}x^3$

$f(x) = \frac{4}{3}x^3 - 2x^2 + \frac{2}{3}$

$f'(x) = 4x^2 - 4x = 4x(x-1)$

$f'(x) = 0$ となるのは $x=0, 1$ のときである。

$0 \le x \le 1$ において $f(0) = \frac{2}{3}$, $f(1) = \frac{4}{3} - 2 + \frac{2}{3} = 0$

$f''(x) = 8x - 4$

$f''(0) = -4 < 0$ より $x = 0$ で極大値を取る。

$f''(1) = 4 > 0$ より $x = 1$ で極小値を取る。

したがって、$0 \le x \le 1$ において、最大値は $f(0) = \frac{2}{3}$、最小値は $f(1) = 0$ である。

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{2}{3}$

最小値: $0$