与えられた極限を計算します。 $$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x - 1} - x + 1)$$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x - 1} - x + 1)$$

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x^2+2x-1}-x$ の部分に注目し、有理化を行います。

$$\sqrt{x^2 + 2x - 1} - x = \frac{(\sqrt{x^2 + 2x - 1} - x)(\sqrt{x^2 + 2x - 1} + x)}{\sqrt{x^2 + 2x - 1} + x} = \frac{x^2 + 2x - 1 - x^2}{\sqrt{x^2 + 2x - 1} + x} = \frac{2x - 1}{\sqrt{x^2 + 2x - 1} + x}$$

ここで、分母と分子を $x$ で割ります。

$$\frac{2x - 1}{\sqrt{x^2 + 2x - 1} + x} = \frac{2 - \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2}} + 1}$$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{x} \to 0$ となるので、

$$\lim_{x \to \infty} \frac{2 - \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2}} + 1} = \frac{2 - 0}{\sqrt{1 + 0 - 0} + 1} = \frac{2}{1 + 1} = 1$$

よって、

$$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x - 1} - x + 1) = \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x - 1} - x) + \lim_{x \to \infty} 1 = 1 + 1 = 2$$

3. 最終的な答え

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