$\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2+1} + x)$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2+1} + x)$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

$x \to -\infty$なので、$\sqrt{x^2} = |x| = -x$であることに注意します。

まず、与えられた式の形を変形します。

$\sqrt{x^2+1} + x = \frac{(\sqrt{x^2+1}+x)(\sqrt{x^2+1}-x)}{\sqrt{x^2+1}-x} = \frac{(x^2+1) - x^2}{\sqrt{x^2+1}-x} = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}-x}$

ここで、$x = -t$と置換すると、$x \to -\infty$のとき、$t \to \infty$となります。よって、

$\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2+1} + x) = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{\sqrt{(-t)^2+1}-(-t)} = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{\sqrt{t^2+1}+t}$

$\sqrt{t^2+1}+t = t\sqrt{1+\frac{1}{t^2}} + t = t(\sqrt{1+\frac{1}{t^2}}+1)$

$t \to \infty$のとき、$1/t^2 \to 0$なので、$\sqrt{1+\frac{1}{t^2}} \to 1$となります。

したがって、$\sqrt{1+\frac{1}{t^2}}+1 \to 2$となり、$t(\sqrt{1+\frac{1}{t^2}}+1) \to \infty$となります。

よって、

$\lim_{t \to \infty} \frac{1}{\sqrt{t^2+1}+t} = 0$

3. 最終的な答え

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