関数 $f(x)$ が $f(x) = \int_{-1}^{1} |t^2 - x^2| dt$ で定義されている。 (1) $0 \le x \le 1$ における $f(x)$ の最大値と最小値を求める。 (2) $x \ge 0$ の範囲で $y = f(x)$ のグラフを描く。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が $f(x) = \int_{-1}^{1} |t^2 - x^2| dt$ で定義されている。

(1) $0 \le x \le 1$ における $f(x)$ の最大値と最小値を求める。

(2) $x \ge 0$ の範囲で $y = f(x)$ のグラフを描く。

2. 解き方の手順

(1) $0 \le x \le 1$ のとき、積分区間 $[-1, 1]$ において、積分の中身 $|t^2 - x^2|$ の絶対値を外すことを考える。

$t^2 - x^2 = 0$ となる $t$ は $t = \pm x$ である。

したがって、積分区間を $[-1, -x], [-x, x], [x, 1]$ に分割して考える。

$f(x) = \int_{-1}^{-x} (t^2 - x^2) dt + \int_{-x}^{x} (x^2 - t^2) dt + \int_{x}^{1} (t^2 - x^2) dt$

$f(x) = \left[ \frac{t^3}{3} - x^2t \right]_{-1}^{-x} + \left[ x^2t - \frac{t^3}{3} \right]_{-x}^{x} + \left[ \frac{t^3}{3} - x^2t \right]_{x}^{1}$

$f(x) = \left( -\frac{x^3}{3} + x^3 - \left( -\frac{1}{3} + x^2 \right) \right) + \left( x^3 - \frac{x^3}{3} - \left( -x^3 + \frac{x^3}{3} \right) \right) + \left( \frac{1}{3} - x^2 - \left( \frac{x^3}{3} - x^3 \right) \right)$

$f(x) = -\frac{x^3}{3} + x^3 + \frac{1}{3} - x^2 + x^3 - \frac{x^3}{3} + x^3 - \frac{x^3}{3} + \frac{1}{3} - x^2 - \frac{x^3}{3} + x^3$

$f(x) = \frac{8}{3}x^3 - 2x^2 + \frac{2}{3}$

$f'(x) = 8x^2 - 4x = 4x(2x - 1)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ は $x = 0, \frac{1}{2}$ である。

$0 \le x \le 1$ なので、$x=0$ と $x=\frac{1}{2}$ を考える。

$f(0) = \frac{2}{3}$

$f(\frac{1}{2}) = \frac{8}{3} (\frac{1}{8}) - 2(\frac{1}{4}) + \frac{2}{3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{2}{3} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$f(1) = \frac{8}{3} - 2 + \frac{2}{3} = \frac{10}{3} - 2 = \frac{4}{3}$

よって、最大値は $f(1) = \frac{4}{3}$、最小値は $f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$

(2) $x \ge 0$ の範囲で $y = f(x)$ のグラフを描く。

$x > 1$ のとき、$-1 \le t \le 1$ で常に $t^2 - x^2 < 0$ なので、

$f(x) = \int_{-1}^{1} (x^2 - t^2) dt = \left[ x^2t - \frac{t^3}{3} \right]_{-1}^{1} = x^2 - \frac{1}{3} - (-x^2 + \frac{1}{3}) = 2x^2 - \frac{2}{3}$

$0 \le x \le 1$ のときは、(1) で求めたように $f(x) = \frac{8}{3}x^3 - 2x^2 + \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $0 \le x \le 1$ における $f(x)$ の最大値は $\frac{4}{3}$、最小値は $\frac{1}{2}$

(2) グラフは省略。$0 \le x \le 1$ では $f(x) = \frac{8}{3}x^3 - 2x^2 + \frac{2}{3}$、$x > 1$ では $f(x) = 2x^2 - \frac{2}{3}$ となる。