与えられた極限を計算します。 $\lim_{x\to\infty} \frac{2^x - 1}{2^x + 1}$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$\lim_{x\to\infty} \frac{2^x - 1}{2^x + 1}$

2. 解き方の手順

極限を計算するために、分子と分母を $2^x$ で割ります。

$$\lim_{x\to\infty} \frac{2^x - 1}{2^x + 1} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{2^x}{2^x} - \frac{1}{2^x}}{\frac{2^x}{2^x} + \frac{1}{2^x}} = \lim_{x\to\infty} \frac{1 - \frac{1}{2^x}}{1 + \frac{1}{2^x}}$$

$x$ が無限大に近づくと、$2^x$ も無限大に近づきます。したがって、$\frac{1}{2^x}$ は 0 に近づきます。

$$\lim_{x\to\infty} \frac{1}{2^x} = 0$$

よって、極限は次のようになります。

$$\lim_{x\to\infty} \frac{1 - \frac{1}{2^x}}{1 + \frac{1}{2^x}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = \frac{1}{1} = 1$$

3. 最終的な答え

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