関数 $y = \sqrt{3} \sin \theta - \cos \theta$ の最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{3} \sin \theta - \cos \theta$ の最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

三角関数の合成を行います。

$y = \sqrt{3} \sin \theta - \cos \theta$ を $R \sin (\theta + \alpha)$ の形に変形することを考えます。

まず、$R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$ を計算します。

よって、$y = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta - \frac{1}{2} \cos \theta)$ となります。

次に、$\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ かつ $\sin \alpha = -\frac{1}{2}$ を満たす $\alpha$ を求めます。

この条件を満たす $\alpha$ は $\alpha = -\frac{\pi}{6}$ です。

したがって、$y = 2 \sin (\theta - \frac{\pi}{6})$ と表せます。

$\sin$ の最大値は $1$, 最小値は $-1$ であるため、

$2 \sin (\theta - \frac{\pi}{6})$ の最大値は $2 \times 1 = 2$ であり、最小値は $2 \times (-1) = -2$ となります。

3. 最終的な答え

最大値：2

最小値：-2