数列$\{a_n\}$が、$a_1 = 1$、$a_{n+1} = -\frac{1}{3}a_n + 1$ $(n = 1, 2, 3, ...)$で定義されるとき、この数列の極限を求めよ。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$が、$a_1 = 1$、$a_{n+1} = -\frac{1}{3}a_n + 1$ $(n = 1, 2, 3, ...)$で定義されるとき、この数列の極限を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、数列の漸化式を変形します。漸化式を$a_{n+1} - \alpha = -\frac{1}{3}(a_n - \alpha)$の形に変形することを考えます。この形にするには、$\alpha = -\frac{1}{3}\alpha + 1$を満たす$\alpha$を求めれば良いです。

$\alpha = -\frac{1}{3}\alpha + 1$を解くと、

$\frac{4}{3}\alpha = 1$

$\alpha = \frac{3}{4}$

となります。

したがって、漸化式は

$a_{n+1} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{3}(a_n - \frac{3}{4})$

と変形できます。

ここで、$b_n = a_n - \frac{3}{4}$とおくと、$b_{n+1} = -\frac{1}{3}b_n$となり、数列$\{b_n\}$は初項$b_1 = a_1 - \frac{3}{4} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$、公比$-\frac{1}{3}$の等比数列です。

よって、$b_n = \frac{1}{4}(-\frac{1}{3})^{n-1}$となります。

したがって、$a_n = b_n + \frac{3}{4} = \frac{1}{4}(-\frac{1}{3})^{n-1} + \frac{3}{4}$となります。

数列$\{a_n\}$の極限は、$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{4}(-\frac{1}{3})^{n-1} + \frac{3}{4})$で求められます。

$\lim_{n \to \infty} (-\frac{1}{3})^{n-1} = 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{1}{4}(0) + \frac{3}{4} = \frac{3}{4}$となります。

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4}$