関数 $f(x)$ と $g(x)$ が以下の式を満たすとき、$\int_0^2 |g(t)| dt$ の値を求める問題です。 $f(x) = xe^x + 2x \int_0^2 |g(t)| dt - 1$ $g(x) = x^2 - x \int_0^1 f(t) dt$

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ と $g(x)$ が以下の式を満たすとき、$\int_0^2 |g(t)| dt$ の値を求める問題です。

$f(x) = xe^x + 2x \int_0^2 |g(t)| dt - 1$

$g(x) = x^2 - x \int_0^1 f(t) dt$

2. 解き方の手順

まず、$A = \int_0^2 |g(t)| dt$、 $B = \int_0^1 f(t) dt$ とおきます。

すると、$f(x)$ と $g(x)$ は以下のように書き換えられます。

$f(x) = xe^x + 2Ax - 1$

$g(x) = x^2 - Bx$

$A$ を求めるために、$g(x)$ を積分します。

$A = \int_0^2 |g(t)| dt = \int_0^2 |t^2 - Bt| dt = \int_0^2 |t(t-B)| dt$

次に、$B$ を求めます。

$B = \int_0^1 f(t) dt = \int_0^1 (te^t + 2At - 1) dt$

部分積分を用いて $\int_0^1 te^t dt$ を計算します。$\int te^t dt = te^t - \int e^t dt = te^t - e^t + C$

したがって、$\int_0^1 te^t dt = [te^t - e^t]_0^1 = (e - e) - (0 - 1) = 1$

$B = \int_0^1 (te^t + 2At - 1) dt = [te^t - e^t]_0^1 + [At^2]_0^1 - [t]_0^1 = 1 + A - 1 = A$

$B = A$ となりました。 $g(x) = x^2 - Ax = x(x-A)$ となります。

ここで、$A$ の範囲によって積分が変わります。

(i) $A \le 0$ のとき、$g(x) \ge 0$ on $[0, 2]$なので、$A = \int_0^2 (t^2 - At) dt = [\frac{1}{3}t^3 - \frac{1}{2}At^2]_0^2 = \frac{8}{3} - 2A$

よって、$3A = 8 - 6A$より、$9A = 8$となり、$A = \frac{8}{9}$

しかし、$A \le 0$ の仮定に矛盾するため、不適です。

(ii) $0 < A < 2$ のとき、$\int_0^A (At - t^2) dt + \int_A^2 (t^2 - At) dt = A$

$[\frac{1}{2}At^2 - \frac{1}{3}t^3]_0^A + [\frac{1}{3}t^3 - \frac{1}{2}At^2]_A^2 = A$

$\frac{1}{2}A^3 - \frac{1}{3}A^3 + (\frac{8}{3} - 2A) - (\frac{1}{3}A^3 - \frac{1}{2}A^3) = A$

$\frac{1}{6}A^3 + \frac{8}{3} - 2A - (-\frac{1}{6}A^3) = A$

$\frac{1}{3}A^3 - 3A + \frac{8}{3} = 0$

$A^3 - 9A + 8 = 0$

$(A-1)(A^2 + A - 8) = 0$

$A = 1, \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{2}$

$0 < A < 2$ を満たすのは、$A=1$ のみ。

$A = 1$ のとき、$\int_0^2 |t^2 - t| dt = \int_0^1 (t-t^2)dt + \int_1^2 (t^2-t)dt = [\frac{1}{2}t^2 - \frac{1}{3}t^3]_0^1 + [\frac{1}{3}t^3 - \frac{1}{2}t^2]_1^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + (\frac{8}{3} - 2) - (\frac{1}{3} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{6} + \frac{2}{3} + \frac{1}{6} = 1$ となり、A=1に一致。

(iii) $A \ge 2$ のとき、$g(x) \le 0$ on $[0, 2]$ なので、$A = \int_0^2 (At - t^2) dt = [\frac{1}{2}At^2 - \frac{1}{3}t^3]_0^2 = 2A - \frac{8}{3}$

$A = 2A - \frac{8}{3}$より、$A = \frac{8}{3}$

$A = \frac{8}{3} \approx 2.67 \ge 2$ を満たすので、$A = \frac{8}{3}$ も解。

3. 最終的な答え

$\int_0^2 |g(t)| dt$ の値は、1または8/3である。