与えられた積分 $\int \frac{1-u^2}{u(1+u^2)} du$ を計算し、$ \int \frac{1}{x} dx $と比較して答えを求めます。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{1-u^2}{u(1+u^2)} du$ を計算し、$\int \frac{1}{x} dx$と比較して答えを求めます。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を部分分数分解します。

$$\frac{1-u^2}{u(1+u^2)} = \frac{A}{u} + \frac{Bu+C}{1+u^2}$$

両辺に $u(1+u^2)$ を掛けると、

$$1-u^2 = A(1+u^2) + (Bu+C)u = A+Au^2+Bu^2+Cu = (A+B)u^2+Cu+A$$

係数を比較すると、

$u^2$: $A+B = -1$

$u$: $C = 0$

定数項: $A = 1$

したがって、$A=1, B=-2, C=0$ となります。

よって、

$$\frac{1-u^2}{u(1+u^2)} = \frac{1}{u} + \frac{-2u}{1+u^2} = \frac{1}{u} - \frac{2u}{1+u^2}$$

したがって、積分は

$$\int \frac{1-u^2}{u(1+u^2)} du = \int \left( \frac{1}{u} - \frac{2u}{1+u^2} \right) du = \int \frac{1}{u} du - \int \frac{2u}{1+u^2} du$$

ここで、$t=1+u^2$ と置換すると、$dt = 2u du$ となり、

$$\int \frac{2u}{1+u^2} du = \int \frac{1}{t} dt = \ln|t| + C = \ln(1+u^2) + C$$

よって、

$$\int \frac{1-u^2}{u(1+u^2)} du = \ln|u| - \ln(1+u^2) + C = \ln \left| \frac{u}{1+u^2} \right| + C$$

また、

$$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$$

したがって、問題は$\int \frac{1-u^2}{u(1+u^2)} du = \int \frac{1}{x} dx$ を解くということなので、

$\ln \left| \frac{u}{1+u^2} \right| = \ln|x| + C$

$\frac{u}{1+u^2} = Cx$

となります。

3. 最終的な答え

$\ln \left| \frac{u}{1+u^2} \right| + C$

または

$\ln \left| \frac{u}{1+u^2} \right| = \ln|x| + C$

または

$\frac{u}{1+u^2} = Cx$