与えられた微分方程式 $y' = \frac{2xy}{x^2 - y^2}$ を解く。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $y' = \frac{2xy}{x^2 - y^2}$ を解く。

2. 解き方の手順

この微分方程式は同次形である。そこで $y = vx$ とおく。すると $y' = v + x \frac{dv}{dx}$ となる。与えられた微分方程式に代入すると

$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{2x(vx)}{x^2 - (vx)^2} = \frac{2vx^2}{x^2 - v^2x^2} = \frac{2v}{1 - v^2}$

$x \frac{dv}{dx} = \frac{2v}{1 - v^2} - v = \frac{2v - v(1 - v^2)}{1 - v^2} = \frac{2v - v + v^3}{1 - v^2} = \frac{v + v^3}{1 - v^2} = \frac{v(1 + v^2)}{1 - v^2}$

したがって、

$\frac{1 - v^2}{v(1 + v^2)} dv = \frac{dx}{x}$

左辺を部分分数分解すると

$\frac{1 - v^2}{v(1 + v^2)} = \frac{A}{v} + \frac{Bv + C}{1 + v^2}$

$1 - v^2 = A(1 + v^2) + (Bv + C)v = A + Av^2 + Bv^2 + Cv = A + (A + B)v^2 + Cv$

係数を比較して $A = 1, C = 0, A + B = -1$ となる。したがって $A = 1, B = -2, C = 0$ であるから

$\frac{1 - v^2}{v(1 + v^2)} = \frac{1}{v} - \frac{2v}{1 + v^2}$

よって

$\int \left(\frac{1}{v} - \frac{2v}{1 + v^2}\right) dv = \int \frac{dx}{x}$

$\ln|v| - \ln(1 + v^2) = \ln|x| + C'$

$\ln\left|\frac{v}{1 + v^2}\right| = \ln|x| + C'$

$\frac{v}{1 + v^2} = Cx$ (ここで $C = e^{C'}$とした)

$v = Cx(1 + v^2)$

$v = Cx + Cx v^2$

$y = vx$ より $v = \frac{y}{x}$ だから

$\frac{y}{x} = Cx\left(1 + \frac{y^2}{x^2}\right)$

$\frac{y}{x} = Cx + \frac{Cy^2}{x}$

$y = Cx^2 + Cy^2$

$Cx^2 + Cy^2 - y = 0$

$C(x^2 + y^2) = y$

$x^2 + y^2 = \frac{y}{C} = C_1y$

$x^2 + y^2 - C_1 y = 0$

$x^2 + y^2 - C_1 y + \left(\frac{C_1}{2}\right)^2 = \left(\frac{C_1}{2}\right)^2$

$x^2 + \left(y - \frac{C_1}{2}\right)^2 = \left(\frac{C_1}{2}\right)^2$

3. 最終的な答え

$x^2 + (y - k)^2 = k^2$ (ただし、$k$ は任意定数)

または

$x^2 + y^2 = Cy$ (ただし、$C$ は任意定数)