問題5.1では、関数 $f(x)$ の点 $a$ における一次近似が $f(x) = f(a) + 3(x-a) + \epsilon(x)$ で与えられ、$\lim_{x \to a} \frac{\epsilon(x)}{x-a} = 0$ が成り立つとき、$f'(a)$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題5.1では、関数 $f(x)$ の点 $a$ における一次近似が $f(x) = f(a) + 3(x-a) + \epsilon(x)$ で与えられ、$\lim_{x \to a} \frac{\epsilon(x)}{x-a} = 0$ が成り立つとき、$f'(a)$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

一次近似の式 $f(x) = f(a) + 3(x-a) + \epsilon(x)$ を変形して、微分係数の定義に近づけます。

まず、$f(x) - f(a) = 3(x-a) + \epsilon(x)$ とします。

次に、$x \neq a$ のとき、両辺を $x-a$ で割ります。

$\frac{f(x) - f(a)}{x-a} = 3 + \frac{\epsilon(x)}{x-a}$

ここで、$x \to a$ の極限を考えると、

$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a} = \lim_{x \to a} \left( 3 + \frac{\epsilon(x)}{x-a} \right)$

左辺は微分係数の定義そのものであり、$f'(a)$ に等しくなります。

右辺は、$\lim_{x \to a} \frac{\epsilon(x)}{x-a} = 0$ という条件から、

$\lim_{x \to a} \left( 3 + \frac{\epsilon(x)}{x-a} \right) = 3 + 0 = 3$

したがって、$f'(a) = 3$ となります。

3. 最終的な答え

$f'(a) = 3$