HW 5.2の微分とHW 5.3の偏微分を求める問題です。 HW 5.2では、与えられた関数 $f(x)$ を $x$ について微分します。 HW 5.3では、与えられた関数を指定された変数について偏微分します。指定されていない変数は定数とみなします。

1. 問題の内容

HW 5.2の微分とHW 5.3の偏微分を求める問題です。

HW 5.2では、与えられた関数 $f(x)$ を $x$ について微分します。

HW 5.3では、与えられた関数を指定された変数について偏微分します。指定されていない変数は定数とみなします。

2. 解き方の手順

**HW 5.2**

(1) $f(x) = x^{5/2} + \log x$ を微分します。

$\frac{d}{dx} x^{5/2} = \frac{5}{2}x^{3/2}$

$\frac{d}{dx} \log x = \frac{1}{x}$

(2) $f(x) = x^3 \sin^{-1} x$ を微分します。積の微分公式を使います。

$\frac{d}{dx} x^3 = 3x^2$

$\frac{d}{dx} \sin^{-1} x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

(3) $f(x) = \frac{e^x}{\sin x}$ を微分します。商の微分公式を使います。

$\frac{d}{dx} e^x = e^x$

$\frac{d}{dx} \sin x = \cos x$

(4) $f(x) = \cos(x^2 + 1)$ を微分します。合成関数の微分を使います。

$\frac{d}{dx} \cos u = -\sin u$

$\frac{d}{dx} (x^2 + 1) = 2x$

**HW 5.3**

(1) $f = \frac{nRT}{V}$ を $T$ について偏微分します。$n, R, V$ は定数とみなします。

$\frac{\partial}{\partial T} \frac{nRT}{V} = \frac{nR}{V}$

(2) $f = \tan^{-1} \frac{b}{a} + a^2$ を $b$ について偏微分します。$a$ は定数とみなします。

$\frac{\partial}{\partial b} \tan^{-1} \frac{b}{a} = \frac{1}{1 + (\frac{b}{a})^2} \cdot \frac{1}{a} = \frac{a}{a^2 + b^2}$

$\frac{\partial}{\partial b} a^2 = 0$

3. 最終的な答え

**HW 5.2**

(1) $\frac{5}{2}x^{3/2} + \frac{1}{x}$

(2) $3x^2 \sin^{-1} x + \frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}}$

(3) $\frac{e^x \sin x - e^x \cos x}{\sin^2 x} = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{\sin^2 x}$

(4) $-2x \sin(x^2 + 1)$

**HW 5.3**

(1) $\frac{nR}{V}$

(2) $\frac{a}{a^2 + b^2}$