与えられた5つの関数をそれぞれ微分する問題です。 (1) $y = \frac{3}{4}x^4 - 2x^3 - 2x - \frac{2}{x^3}$ (2) $y = (2x-3)(x^2+5x+2)$ (3) $y = \frac{2}{x^3 - 3}$ (4) $y = \frac{2x+3}{3x-2}$ (5) $y = \frac{4x-1}{x^2+x+1}$

1. 問題の内容

与えられた5つの関数をそれぞれ微分する問題です。

(1) $y = \frac{3}{4}x^4 - 2x^3 - 2x - \frac{2}{x^3}$

(2) $y = (2x-3)(x^2+5x+2)$

(3) $y = \frac{2}{x^3 - 3}$

(4) $y = \frac{2x+3}{3x-2}$

(5) $y = \frac{4x-1}{x^2+x+1}$

2. 解き方の手順

(1) 各項を個別に微分します。$\frac{2}{x^3} = 2x^{-3}$ と変形してから微分します。

(2) 積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使用します。

(3) 商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を使用します。

(4) 商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を使用します。

(5) 商の微分公式 $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を使用します。

(1)

$y' = \frac{3}{4} \cdot 4x^3 - 2 \cdot 3x^2 - 2 - 2(-3)x^{-4} = 3x^3 - 6x^2 - 2 + \frac{6}{x^4}$

(2)

$u = 2x - 3$, $v = x^2 + 5x + 2$ とおくと、

$u' = 2$, $v' = 2x + 5$

$y' = (2x-3)'(x^2+5x+2) + (2x-3)(x^2+5x+2)' = 2(x^2+5x+2) + (2x-3)(2x+5) = 2x^2 + 10x + 4 + 4x^2 + 10x - 6x - 15 = 6x^2 + 14x - 11$

(3)

$u = 2$, $v = x^3 - 3$ とおくと、

$u' = 0$, $v' = 3x^2$

$y' = \frac{0 \cdot (x^3 - 3) - 2 \cdot 3x^2}{(x^3-3)^2} = \frac{-6x^2}{(x^3-3)^2}$

(4)

$u = 2x + 3$, $v = 3x - 2$ とおくと、

$u' = 2$, $v' = 3$

$y' = \frac{2(3x-2) - (2x+3)3}{(3x-2)^2} = \frac{6x - 4 - 6x - 9}{(3x-2)^2} = \frac{-13}{(3x-2)^2}$

(5)

$u = 4x - 1$, $v = x^2 + x + 1$ とおくと、

$u' = 4$, $v' = 2x + 1$

$y' = \frac{4(x^2+x+1) - (4x-1)(2x+1)}{(x^2+x+1)^2} = \frac{4x^2 + 4x + 4 - (8x^2 + 4x - 2x - 1)}{(x^2+x+1)^2} = \frac{4x^2 + 4x + 4 - 8x^2 - 2x + 1}{(x^2+x+1)^2} = \frac{-4x^2 + 2x + 5}{(x^2+x+1)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 3x^3 - 6x^2 - 2 + \frac{6}{x^4}$

(2) $y' = 6x^2 + 14x - 11$

(3) $y' = \frac{-6x^2}{(x^3-3)^2}$

(4) $y' = \frac{-13}{(3x-2)^2}$

(5) $y' = \frac{-4x^2 + 2x + 5}{(x^2+x+1)^2}$