与えられた問題を以下に示します。 問題1: 次の関数を積分せよ。 (1) $\int \sin^2 x \cos x \, dx$ (置換積分) (2) $\int \log x \, dx$ (部分積分) 問題2: 次の微分方程式を満たす関数 $y$ をすべて求めよ。また $x=0$ で $y=2$, $x=1$ で $y=5$ となる特殊解を求めよ。 $y'' = 2x + 4x^3$ 問題3: 次の微分方程式の一般解を求めよ。 (1) $y' = 2x$ (2) $y' = 3y$ (3) $(1+y^2)dx + dy = 0$

1. 問題の内容

与えられた問題を以下に示します。

問題1: 次の関数を積分せよ。

(1) $\int \sin^2 x \cos x \, dx$ (置換積分)

(2) $\int \log x \, dx$ (部分積分)

問題2: 次の微分方程式を満たす関数 $y$ をすべて求めよ。また $x=0$ で $y=2$, $x=1$ で $y=5$ となる特殊解を求めよ。

$y'' = 2x + 4x^3$

問題3: 次の微分方程式の一般解を求めよ。

(1) $y' = 2x$

(2) $y' = 3y$

(3) $(1+y^2)dx + dy = 0$

2. 解き方の手順

問題1:

(1) $\int \sin^2 x \cos x \, dx$ (置換積分)

$u = \sin x$ と置くと、$du = \cos x \, dx$。したがって、

$\int \sin^2 x \cos x \, dx = \int u^2 \, du = \frac{1}{3}u^3 + C = \frac{1}{3}\sin^3 x + C$

(2) $\int \log x \, dx$ (部分積分)

$\int \log x \, dx = \int 1 \cdot \log x \, dx$

$u = \log x, dv = dx$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx, v = x$。

$\int \log x \, dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log x - \int 1 \, dx = x \log x - x + C$

問題2:

$y'' = 2x + 4x^3$

一度積分すると:

$y' = \int (2x + 4x^3) \, dx = x^2 + x^4 + C_1$

もう一度積分すると:

$y = \int (x^2 + x^4 + C_1) \, dx = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{5}x^5 + C_1 x + C_2$

$x=0$ で $y=2$ より、$2 = 0 + 0 + 0 + C_2$。したがって、$C_2 = 2$。

$x=1$ で $y=5$ より、$5 = \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + C_1 + 2$。

$C_1 = 5 - 2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{5} = 3 - \frac{5+3}{15} = 3 - \frac{8}{15} = \frac{45-8}{15} = \frac{37}{15}$

したがって、$y = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{5}x^5 + \frac{37}{15}x + 2$

問題3:

(1) $y' = 2x$

$\frac{dy}{dx} = 2x$

$\int dy = \int 2x \, dx$

$y = x^2 + C$

(2) $y' = 3y$

$\frac{dy}{dx} = 3y$

$\frac{dy}{y} = 3 \, dx$

$\int \frac{dy}{y} = \int 3 \, dx$

$\log |y| = 3x + C_1$

$|y| = e^{3x+C_1} = e^{C_1}e^{3x}$

$y = Ce^{3x}$ (ただし、$C = \pm e^{C_1}$)

(3) $(1+y^2)dx + dy = 0$

$dy = -(1+y^2)dx$

$\frac{dy}{1+y^2} = -dx$

$\int \frac{dy}{1+y^2} = \int -dx$

$\arctan y = -x + C$

$y = \tan(-x+C)$

3. 最終的な答え

問題1:

(1) $\frac{1}{3}\sin^3 x + C$

(2) $x \log x - x + C$

問題2:

一般解: $y = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{5}x^5 + C_1 x + C_2$

特殊解: $y = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{5}x^5 + \frac{37}{15}x + 2$

問題3:

(1) $y = x^2 + C$

(2) $y = Ce^{3x}$

(3) $y = \tan(-x+C)$