(1) $\lim_{x \to 0} (\sin^2(3x) + x) \cos(\frac{x-2}{x^3})$ を求めよ。 (2) a) 数列 $\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$ の極限を求めよ。 b) $|x| < 1$ に対して、数列 $1, x, x^2, x^3, x^4, \dots$ が 0 に収束することを示せ。 c) $1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^{n-1}$ を求めよ。 d) $\lim_{n \to \infty} (1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^n)$ を求めよ。ただし、$|x|<1$とする。 (3) 漸化式 $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ で定義される数列をフィボナッチ数列とする。$F_0 = F_1 = 1$ とする。 a) 隣接項比 $x_n := \frac{F_{n+1}}{F_n}$ が満たす漸化式を求めよ。 b) この数列が収束することを示し、その極限を求めよ。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

(1) $\lim_{x \to 0} (\sin^2(3x) + x) \cos(\frac{x-2}{x^3})$ を求めよ。

(2)

a) 数列 $\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$ の極限を求めよ。

b) $|x| < 1$ に対して、数列 $1, x, x^2, x^3, x^4, \dots$ が 0 に収束することを示せ。

c) $1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^{n-1}$ を求めよ。

d) $\lim_{n \to \infty} (1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^n)$ を求めよ。ただし、$|x|<1$とする。

(3) 漸化式 $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ で定義される数列をフィボナッチ数列とする。$F_0 = F_1 = 1$ とする。

a) 隣接項比 $x_n := \frac{F_{n+1}}{F_n}$ が満たす漸化式を求めよ。

b) この数列が収束することを示し、その極限を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$x \to 0$ のとき、$\sin^2(3x) \to 0$ および $x \to 0$ であるから、$\sin^2(3x) + x \to 0$ である。

また、$x \to 0$ のとき、$\frac{x-2}{x^3} \to -\infty$ であるから、$\cos(\frac{x-2}{x^3})$ は振動する。

しかし、$|\cos(\frac{x-2}{x^3})| \le 1$ である。

したがって、

$$\lim_{x \to 0} (\sin^2(3x) + x) \cos(\frac{x-2}{x^3}) = 0$$

(2)

a) $n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n} \to 0$ である。したがって、数列 $\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$ の極限は 0 である。

b) $|x| < 1$ のとき、$|x|^n$ は単調減少で、下に有界(0)なので、極限を持つ。$y = \lim_{n\to\infty} |x|^n$とおくと、$y=\lim_{n\to\infty} |x|^{n+1} = \lim_{n\to\infty} |x||x|^n = |x|y$となる。$y = |x|y$ より $y(1-|x|) = 0$。$|x| < 1$ より $1-|x| \neq 0$ なので、$y = 0$。したがって、$\lim_{n\to\infty} x^n = 0$ である。

c) 等比数列の和の公式より、

$$1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^{n-1} = \frac{1 - x^n}{1 - x}$$

d) $|x| < 1$ のとき、$\lim_{n \to \infty} x^n = 0$ であるから、

$$\lim_{n \to \infty} (1 + x + x^2 + x^3 + \dots + x^n) = \lim_{n \to \infty} \frac{1 - x^{n+1}}{1 - x} = \frac{1 - 0}{1 - x} = \frac{1}{1 - x}$$

(3)

a) $x_n = \frac{F_{n+1}}{F_n}$ とすると、$F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ より、

$$x_{n+1} = \frac{F_{n+2}}{F_{n+1}} = \frac{F_{n+1} + F_n}{F_{n+1}} = 1 + \frac{F_n}{F_{n+1}} = 1 + \frac{1}{x_n}$$

したがって、$x_{n+1} = 1 + \frac{1}{x_n}$

b) 数列 $\{x_n\}$ が収束すると仮定し、その極限を $\alpha$ とすると、$\alpha = 1 + \frac{1}{\alpha}$ より、$\alpha^2 = \alpha + 1$。したがって、$\alpha^2 - \alpha - 1 = 0$。

解の公式より、$\alpha = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$。

$F_n > 0$ より $x_n > 0$ なので、$\alpha = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ である。

$x_0 = \frac{F_1}{F_0} = \frac{1}{1} = 1$。

$x_1 = \frac{F_2}{F_1} = \frac{F_1 + F_0}{F_1} = \frac{1 + 1}{1} = 2$。

$x_2 = 1 + \frac{1}{x_1} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$。

$x_3 = 1 + \frac{1}{x_2} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3} \approx 1.666$。

$x_4 = 1 + \frac{1}{x_3} = 1 + \frac{3}{5} = \frac{8}{5} = 1.6$。

$\alpha = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{1 + 2.236}{2} \approx 1.618$。

隣接する2項を比べると振動しながら収束しそうである。

$x_{n+1} - \alpha = 1 + \frac{1}{x_n} - \alpha = 1 + \frac{1}{x_n} - (1 + \frac{1}{\alpha}) = \frac{1}{x_n} - \frac{1}{\alpha} = \frac{\alpha - x_n}{x_n \alpha}$。

したがって、$x_{n+1} - \alpha = \frac{-(x_n - \alpha)}{x_n \alpha}$ である。

3. 最終的な答え

(1) 0

(2)

a) 0

b) $\lim_{n\to\infty} x^n = 0$

c) $\frac{1 - x^n}{1 - x}$

d) $\frac{1}{1 - x}$

(3)

a) $x_{n+1} = 1 + \frac{1}{x_n}$

b) $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$