$x = \tan^2 y$ を満たす実数 $x$ について、微分可能な $x$ の関数 $y$ を考える。ただし、$\frac{\pi}{2} < y < \pi$ とする。 (1) $x=3$ のとき、$y$ の値を求めよ。 (2) $\frac{dy}{dx}$ を $x$ の式で表せ。

1. 問題の内容

$x = \tan^2 y$ を満たす実数 $x$ について、微分可能な $x$ の関数 $y$ を考える。ただし、$\frac{\pi}{2} < y < \pi$ とする。

(1) $x=3$ のとき、$y$ の値を求めよ。

(2) $\frac{dy}{dx}$ を $x$ の式で表せ。

2. 解き方の手順

(1) $x=3$ のとき、$x = \tan^2 y$ に代入すると、

$3 = \tan^2 y$

したがって、$\tan y = \pm \sqrt{3}$ となる。

$\frac{\pi}{2} < y < \pi$ の範囲で $\tan y = \pm \sqrt{3}$ を満たす $y$ を求める。

$\tan y$ は第2象限で負の値をとるから $\tan y = -\sqrt{3}$。

$\tan y = -\sqrt{3}$ となる $y$ は、$y = \frac{2\pi}{3}$ である。

(2) $x = \tan^2 y$ を $x$ で微分する。

$\frac{dx}{dx} = \frac{d}{dx} (\tan^2 y)$

$1 = 2 \tan y \cdot \frac{d}{dx} (\tan y)$

$1 = 2 \tan y \cdot \frac{1}{\cos^2 y} \cdot \frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos^2 y}{2 \tan y}$

$\tan y = \pm \sqrt{x}$ であるから、$\frac{\pi}{2} < y < \pi$ より $\tan y = -\sqrt{x}$。

$\cos^2 y = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1+x}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{1}{1+x}}{2 (-\sqrt{x})} = -\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}$

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{2\pi}{3}$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}$