関数 $y=e^{3x}$ の原点(0,0)を通る接線の方程式を求める問題です。求める接線の方程式は、$y = \text{問10} \cdot e \cdot x$ の形で表されます。

1. 問題の内容

関数 $y=e^{3x}$ の原点(0,0)を通る接線の方程式を求める問題です。求める接線の方程式は、$y = \text{問10} \cdot e \cdot x$ の形で表されます。

2. 解き方の手順

まず、$y = e^{3x}$ の導関数を求めます。

$\frac{dy}{dx} = 3e^{3x}$

この導関数は、各点における接線の傾きを表します。

接線の式を $y=ax$ と置きます。（原点を通るため）

$x=t$ における $y=e^{3x}$ の接線が原点を通ると仮定します。

そのとき、接点の座標は $(t, e^{3t})$ となります。

接点における接線の傾きは $3e^{3t}$ なので、接線の方程式は

$y - e^{3t} = 3e^{3t}(x-t)$

この直線が原点を通るので、$x=0, y=0$ を代入すると

$-e^{3t} = 3e^{3t}(-t)$

$-e^{3t} = -3te^{3t}$

$e^{3t}$ は 0 にならないので、両辺を $-e^{3t}$ で割ると

$1 = 3t$

よって、$t = \frac{1}{3}$

したがって、接点の座標は $(\frac{1}{3}, e)$ となり、接線の傾きは $3e^{3(\frac{1}{3})} = 3e$ となります。

原点を通る直線の式は $y = ax$ であり、この直線が $(\frac{1}{3}, e)$ を通るため、

$e = a \cdot \frac{1}{3}$

$a = 3e$

よって、接線の方程式は $y = 3e x$ となります。

3. 最終的な答え

$y=3ex$

したがって、問10 に入るべき数字は 3 です。