次の3つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{n \to \infty} \frac{5^n}{4^n + 2^n}$ (2) $\lim_{n \to \infty} \frac{2^n - 3^n}{3^n + 2^n}$ (3) $\lim_{n \to \infty} \{(-3)^n + 2^{2n}\}$

1. 問題の内容

次の3つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{5^n}{4^n + 2^n}$

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{2^n - 3^n}{3^n + 2^n}$

(3) $\lim_{n \to \infty} \{(-3)^n + 2^{2n}\}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{5^n}{4^n + 2^n}$ を求めます。

分子と分母を $2^n$ で割ると、

$\lim_{n \to \infty} \frac{5^n/2^n}{4^n/2^n + 2^n/2^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{5}{2})^n}{(\frac{4}{2})^n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{5}{2})^n}{2^n + 1}$

分子と分母を $2^n$ で割ると、

$\lim_{n \to \infty} \frac{5^n/4^n}{4^n/4^n + 2^n/4^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{5}{4})^n}{1 + (\frac{1}{2})^n}$

ここで、$\lim_{n \to \infty} (\frac{5}{4})^n = \infty$ であり、$\lim_{n \to \infty} (\frac{1}{2})^n = 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{5}{4})^n}{1 + (\frac{1}{2})^n} = \frac{\infty}{1 + 0} = \infty$

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{2^n - 3^n}{3^n + 2^n}$ を求めます。

分子と分母を $3^n$ で割ると、

$\lim_{n \to \infty} \frac{2^n/3^n - 3^n/3^n}{3^n/3^n + 2^n/3^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{2}{3})^n - 1}{1 + (\frac{2}{3})^n}$

ここで、$\lim_{n \to \infty} (\frac{2}{3})^n = 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{(\frac{2}{3})^n - 1}{1 + (\frac{2}{3})^n} = \frac{0 - 1}{1 + 0} = -1$

(3) $\lim_{n \to \infty} \{(-3)^n + 2^{2n}\}$ を求めます。

$2^{2n} = (2^2)^n = 4^n$ であるから、

$\lim_{n \to \infty} \{(-3)^n + 4^n\}$ を求めます。

$n$ が偶数のとき、 $(-3)^n = 3^n$ なので、 $\lim_{n \to \infty} (3^n + 4^n)$ となり、これは $\infty$ に発散します。

$n$ が奇数のとき、 $(-3)^n = -3^n$ なので、 $\lim_{n \to \infty} (-3^n + 4^n)$ となり、これは $\infty$ に発散します。

したがって、 $\lim_{n \to \infty} \{(-3)^n + 4^n\} = \infty$

3. 最終的な答え

(1) $\infty$

(2) $-1$

(3) $\infty$