関数 $f(x) = -x + 4\sqrt{x}$ の $0 \leq x \leq 9$ における最大値と最小値を求め、それぞれのときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = -x + 4\sqrt{x}$ の $0 \leq x \leq 9$ における最大値と最小値を求め、それぞれのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を微分して、極値を求める。

$f'(x) = -1 + \frac{4}{2\sqrt{x}} = -1 + \frac{2}{\sqrt{x}}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$-1 + \frac{2}{\sqrt{x}} = 0$

$\frac{2}{\sqrt{x}} = 1$

$\sqrt{x} = 2$

$x = 4$

次に、与えられた区間の端点と、極値を与える $x$ の値で $f(x)$ の値を計算する。

$f(0) = -0 + 4\sqrt{0} = 0$

$f(4) = -4 + 4\sqrt{4} = -4 + 4(2) = -4 + 8 = 4$

$f(9) = -9 + 4\sqrt{9} = -9 + 4(3) = -9 + 12 = 3$

$x=0$ のとき、$f(0) = 0$

$x=4$ のとき、$f(4) = 4$

$x=9$ のとき、$f(9) = 3$

したがって、最大値は $x=4$ のときの $f(4)=4$、最小値は $x=0$ のときの $f(0)=0$。

3. 最終的な答え

When $x = 4$, max.value is $4$

When $x = 0$, min.value is $0$