与えられた関数 $f(x)$ が $x=0$ で微分可能かどうかを判定し、微分可能であれば $f'(0)$ を求める問題です。関数は2つ与えられており、それぞれについて検討する必要があります。 (1) $ f(x) = \begin{cases} x^2 & (x \text{ が有理数のとき}) \\ 0 & (x \text{ が無理数のとき}) \end{cases} $ (2) $ f(x) = \begin{cases} x(1+e^{x^{-1}})^{-1} & (x \neq 0 \text{ のとき}) \\ 0 & (x = 0 \text{ のとき}) \end{cases} $

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ が $x=0$ で微分可能かどうかを判定し、微分可能であれば $f'(0)$ を求める問題です。関数は2つ与えられており、それぞれについて検討する必要があります。

(1)

$f(x) = \begin{cases} x^2 & (x \text{ が有理数のとき}) \\ 0 & (x \text{ が無理数のとき}) \end{cases}$

(2)

$f(x) = \begin{cases} x(1+e^{x^{-1}})^{-1} & (x \neq 0 \text{ のとき}) \\ 0 & (x = 0 \text{ のとき}) \end{cases}$

2. 解き方の手順

微分可能性を判定するには、定義に従って微分係数を計算する必要があります。微分係数は、以下の極限が存在する場合に定義されます。

$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h}$

(1) の場合：

$f(0) = 0$ です。

$\frac{f(h) - f(0)}{h} = \frac{f(h)}{h}$

$h$ が有理数のとき、$\frac{f(h)}{h} = \frac{h^2}{h} = h$

$h$ が無理数のとき、$\frac{f(h)}{h} = \frac{0}{h} = 0$

$h \to 0$ のとき、有理数と無理数はいくらでも0に近いものが存在するので、$\lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h} = 0$となります。よって、$f'(0) = 0$。

(2) の場合：

$f(0) = 0$ です。

$\frac{f(h) - f(0)}{h} = \frac{f(h)}{h} = \frac{h(1+e^{h^{-1}})^{-1}}{h} = (1+e^{h^{-1}})^{-1}$

$h \to +0$ のとき、$h^{-1} \to +\infty$ なので、$e^{h^{-1}} \to +\infty$。したがって、

$\lim_{h \to +0} \frac{f(h)}{h} = \lim_{h \to +0} (1+e^{h^{-1}})^{-1} = 0$

$h \to -0$ のとき、$h^{-1} \to -\infty$ なので、$e^{h^{-1}} \to 0$。したがって、

$\lim_{h \to -0} \frac{f(h)}{h} = \lim_{h \to -0} (1+e^{h^{-1}})^{-1} = (1+0)^{-1} = 1$

右側極限と左側極限が異なるため、$\lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h}$ は存在しません。よって、$f(x)$ は $x=0$ で微分不可能。

3. 最終的な答え

(1) $f(x)$ は $x=0$ で微分可能であり、$f'(0) = 0$。

(2) $f(x)$ は $x=0$ で微分不可能。