次の3つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{n \to \infty} \frac{5^n}{4^n + 2^n}$ (2) $\lim_{n \to \infty} \frac{2^n - 3^n}{3^n + 2^n}$ (3) $\lim_{n \to \infty} ((-3)^n + 2^{2n})$

1. 問題の内容

次の3つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{5^n}{4^n + 2^n}$

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{2^n - 3^n}{3^n + 2^n}$

(3) $\lim_{n \to \infty} ((-3)^n + 2^{2n})$

2. 解き方の手順

(1) 分母と分子を $4^n$ で割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{5^n}{4^n + 2^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(5/4)^n}{1 + (2/4)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(5/4)^n}{1 + (1/2)^n}$

$n \to \infty$ のとき、$(5/4)^n \to \infty$ であり、$(1/2)^n \to 0$ です。

したがって、$\lim_{n \to \infty} \frac{(5/4)^n}{1 + (1/2)^n} = \frac{\infty}{1 + 0} = \infty$

(2) 分母と分子を $3^n$ で割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{2^n - 3^n}{3^n + 2^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2/3)^n - 1}{1 + (2/3)^n}$

$n \to \infty$ のとき、$(2/3)^n \to 0$ です。

したがって、$\lim_{n \to \infty} \frac{(2/3)^n - 1}{1 + (2/3)^n} = \frac{0 - 1}{1 + 0} = -1$

(3) $2^{2n} = (2^2)^n = 4^n$ なので、

$\lim_{n \to \infty} ((-3)^n + 2^{2n}) = \lim_{n \to \infty} ((-3)^n + 4^n)$

$n$ が偶数のとき、$(-3)^n = 3^n$ なので、$4^n + 3^n$ になります。

$n$ が奇数のとき、$(-3)^n = -3^n$ なので、$4^n - 3^n$ になります。

$4^n$ が $3^n$ よりも圧倒的に大きくなるので、$n \to \infty$ のとき、$\lim_{n \to \infty} ((-3)^n + 4^n) = \infty$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\infty$

(2) $-1$

(3) $\infty$