与えられた3つの問題について、それぞれ以下のものを求めます。 (1) 関数 $f(x) = 3x + \int_{0}^{3} f(t) dt$ を満たす関数 $f(x)$。 (2) 関数 $\int_{a}^{x} f(t) dt = x^3 - x^2 - x - 2$ を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$。 (3) 関数 $f(x) = \int_{0}^{x} (x-t)(t-2) dt$ を多項式で表したとき、$f(x)$ と $f'(x)$。

## 問題の解答

1. 問題の内容

与えられた3つの問題について、それぞれ以下のものを求めます。

(1) 関数 $f(x) = 3x + \int_{0}^{3} f(t) dt$ を満たす関数 $f(x)$。

(2) 関数 $\int_{a}^{x} f(t) dt = x^3 - x^2 - x - 2$ を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$。

(3) 関数 $f(x) = \int_{0}^{x} (x-t)(t-2) dt$ を多項式で表したとき、$f(x)$ と $f'(x)$。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = 3x + \int_{0}^{3} f(t) dt$

積分 $\int_{0}^{3} f(t) dt$ は定数なので、$C = \int_{0}^{3} f(t) dt$ とおくと、$f(x) = 3x + C$ となります。

この $f(x)$ を $C$ の定義式に代入すると、

$C = \int_{0}^{3} (3t + C) dt = \left[ \frac{3}{2}t^2 + Ct \right]_{0}^{3} = \frac{27}{2} + 3C$

これを解くと、$-2C = \frac{27}{2}$、よって $C = -\frac{27}{4}$。

したがって、$f(x) = 3x - \frac{27}{4}$。

(2) $\int_{a}^{x} f(t) dt = x^3 - x^2 - x - 2$

両辺を $x$ で微分すると、$f(x) = 3x^2 - 2x - 1$。

次に、$\int_{a}^{x} f(t) dt$ に $x = a$ を代入すると、

$\int_{a}^{a} f(t) dt = 0$。

したがって、$a^3 - a^2 - a - 2 = 0$。

この式を解くと、$(a-2)(a^2 + a + 1) = 0$。

$a^2 + a + 1 = 0$ は実数解を持たないので、$a = 2$。

(3) $f(x) = \int_{0}^{x} (x-t)(t-2) dt$

$f(x) = \int_{0}^{x} (xt - 2x - t^2 + 2t) dt = \left[ \frac{1}{2}xt^2 - 2xt - \frac{1}{3}t^3 + t^2 \right]_{0}^{x} = \frac{1}{2}x^3 - 2x^2 - \frac{1}{3}x^3 + x^2 = \frac{1}{6}x^3 - x^2$。

$f'(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2x$。

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = 3x - \frac{27}{4}$

(2) $f(x) = 3x^2 - 2x - 1$, $a = 2$

(3) $f(x) = \frac{1}{6}x^3 - x^2$, $f'(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2x$