関数 $y = e^{-2x^2}$ の増減、グラフの凹凸、漸近線を調べて、グラフの概形を描く。

1. 問題の内容

関数 $y = e^{-2x^2}$ の増減、グラフの凹凸、漸近線を調べて、グラフの概形を描く。

2. 解き方の手順

(1) 定義域：

関数 $y = e^{-2x^2}$ は全ての $x$ で定義されるので、定義域は実数全体である。

(2) 対称性：

$y(-x) = e^{-2(-x)^2} = e^{-2x^2} = y(x)$ であるから、$y$ は偶関数であり、グラフは $y$ 軸に関して対称である。

(3) 極限：

$\lim_{x \to \infty} e^{-2x^2} = 0$

$\lim_{x \to -\infty} e^{-2x^2} = 0$

したがって、$x \to \pm \infty$ のとき、$y \to 0$ となるので、$y = 0$ (すなわち $x$ 軸) が漸近線である。

(4) 微分：

$y' = e^{-2x^2}(-4x) = -4xe^{-2x^2}$

$y' = 0$ となるのは $x = 0$ のときである。

$x < 0$ のとき $y' > 0$、$x > 0$ のとき $y' < 0$ なので、$x = 0$ で極大となる。

極大値は $y(0) = e^{-2(0)^2} = e^0 = 1$ である。

(5) 2階微分：

$y'' = -4e^{-2x^2} + (-4x)(-4x)e^{-2x^2} = (-4 + 16x^2)e^{-2x^2} = 4(4x^2 - 1)e^{-2x^2}$

$y'' = 0$ となるのは $4x^2 - 1 = 0$、つまり $x^2 = \frac{1}{4}$、すなわち $x = \pm \frac{1}{2}$ のときである。

$x < -\frac{1}{2}$ または $x > \frac{1}{2}$ のとき $y'' > 0$ (下に凸)

$-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ のとき $y'' < 0$ (上に凸)

$x = \pm \frac{1}{2}$ は変曲点であり、$y(\pm \frac{1}{2}) = e^{-2(\frac{1}{4})} = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}} \approx 0.6065$

(6) 増減表：

| x | -∞ | ... | -1/2 | ... | 0 | ... | 1/2 | ... | +∞ |

|-------|-------|------|-------|------|-------|------|-------|------|-------|

| y' | | + | + | + | 0 | - | - | - | |

| y'' | | + | 0 | - | - | - | 0 | + | |

| y | 0 | ↑ | 1/√e | ↑ | 1 | ↓ | 1/√e | ↓ | 0 |

| | | 下凸 | 変曲点 | 上凸 | 極大 | 上凸 | 変曲点 | 下凸 | |

3. 最終的な答え

グラフの概形:

- $y$軸に関して対称

- $x$軸が漸近線

- 極大値 $(0, 1)$

- 変曲点 $(\pm \frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{e}})$

- $x < -\frac{1}{2}$ および $x > \frac{1}{2}$ で下に凸

- $-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ で上に凸